阶梯博弈(尼姆博奕进阶)

n个阶梯(编号1~n)，每个阶梯上有ni个石子，从第 i+1 个阶梯可以拿若干个石子到第 i 个阶梯上，第 1 个阶梯可以拿到地面(可以看作第 0 个阶梯，或者你也可以叫它基层)，无法执行操作(石子全都到了第 0 个阶梯)输

那么先说结论：

取所有奇数层看作一个普通尼姆博弈即可（取奇数层石子放到偶数层可以看作单纯的取走了）

那么为什么呢？

不妨试想，只有偶数层有石子。

则先取石子的必败。

换言之就是先取完奇数层石子的获胜。

可是棋手们会乖乖的先取奇数层石子吗，取偶数层石子不会影响到奇数层的状态吗？

下面就来说一说这个问题

当把奇数层看作一个普通尼姆博奕，这个尼姆博奕的必胜方记作A，必败方记作B

对A来说，我没必要主动取偶数层石子，因为我正常玩就必胜

对B来说，我想改变奇数层状态，把它变成对手必败

但是B从偶数层取了一些石子到奇数层后

这时A我就可以取刚刚的这个奇数层的刚才放进来的那些等量石子放到偶数层，恢复原来的状态

所以说偶数层无法影响奇数层

胜负在一开始的奇数层这个普通尼姆博奕就决定好了

下面说一下推论

增加以下条件时，阶梯博弈结论依然成立

偶数层可以移动石子到除0外的任意层

奇数层可以移动石子到任意偶数层 (包括第0层)

那么这个推论其实既正确又有问题

因为这种规则下，双方可以磨棋，游戏就永远不会结束

所以实际问题会加入一些限制条件或把上述条件弱化来保证他永远是向下进行的

不过你要理解，把上面那些条件加入依然是阶梯博弈

然后实际问题呢往往会比较复杂

比如阶梯博弈的组合游戏

再比如，并不是直接给你一层层的石子数，而要你自己去甄别，相邻间隔长度代表石子数这种的

拿到题你就知道怎么回事了

具体问题还是要具体分析吧

不过校准好以上几条结论推论，各种问题都肯定可以又快又好地解决掉

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