相关数学基础

欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且与n互素（质）的正整数的个数，记为φ(n)。
对于一个素数n，可知φ(n)=n-1
对于两个素数p和q，它们的乘积满足n=p*q，则可知φ(n)=(p-1)*(q-1)
素数：一个数只能被1和它本身整除。
互质：gcd(a,b)表示a和b的最大公约数，gcd(a,b)=1，表示a,b的最大公约数为1，说明互质。
同余：两个整数a，b若它们除以整数m所得的余数相同，则称a与b对于模m同余，或a同余b模m，记作a≡b(mod m)
如：40≡1(mod 13)

RSA密码体制参数的定义

①随机选择两个大素数p和q；        （保密）
②计算n=p*q；                               （n公开）
③计算φ(n)=(p-1)(q-1)；                 （φ(n)保密）
④随机选择一个正整数e，1<e<φ(n)且gcd(e,φ(n))=1；    （e公开）
⑤根据e*d=1 mod φ(n)，求出d；（d保密）
⑥加密运算 C=M^e mod n，解密运算M=C^d mod n；
RSA密码公开加密密钥Ke=<n,e>
保密的解密密钥Kd=<p,q,d,φ(n)>
如：求解乘法逆元：
5 * d = 1 mod 72，求d？这个式子可以变成5d mod 72 = 1 mod 72
5 * d - 1 = n * 72 (n=1,2,3...)
得：当n=2，d=29
例一：在RSA公钥密钥体系中，选定p=7，q=13，取e=5，当明文m=10时，求出d的值和对应的密文。
n = p * q = 7 * 13 = 91
φ(n) = (p - 1) * (q - 1) = 6 * 12 = 72
5 * d = 1 mod 72 求得 d = 29
C = M^e mod n = 10^5 mod 91 = 82
M = C^d mod n = 82^29 mod 91 = 10
例二：设在RSA的公钥密码体制中，公钥为(e,n) = (7, 55)，则私钥d为多少？
n为55，可知5 * 11 = 55，那么p为5，q为11。
那么φ(n) 为 4 * 10 = 40，从题中可知e为7。
由公式e * d = 1 mod φ(n) ，7* d = 1 mod 40
=> 7 * d - 1 = n * 40 (n = 1,2,3...)
=> d为23，n为4

RSA密码的特点

RSA算法具有加解密算法的可逆性，加密和解密运算可以交换，可同时确保数据的秘密性和数据的真实性。
由于RSA密码的核心运算是模幂运算，其实现效率比较高效。

RSA密码的安全性

RSA密码的安全性在于大合数因子分解的困难。应当采用足够大的整数n。一般n至少取1024位，最好取2048位。

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