浅谈Tarjan缩点(分析+模板)
昨天一看发现我的博客数量到100篇了,撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
根据标题我们也知道,想要在接下来的十分钟不浪费生命
读者需要先行学习Tarjan强联通分量
如果不会的话可以点击这里:https://www.cnblogs.com/WWHHTT/p/9744658.html
好的,现在我们就假设大家都知道了Tarjan,来看看如何利用Tarjan缩点
在学习如何写代码之前,我们必须要先弄明白什么是缩点
也就是定义
百度百科上并没有给出详细解释,我就来总结几句
缩点就是把一个有向图中的强联通分量转换成一个点
转换完之后的图是一个DAG(有向无环图)
通常用来解决图中具有传递性的问题(还有最大值和乘法原理)
我们来举个例子吧
上面这个图中,圆里的是编号,红色的是点的权值,箭头代表边的方向
这个图缩点之后是这样的
符号所表示的东西不变,原来的2,3,4变成了现在的2,原来的5是现在的3
是不是感觉没有多难,下面我来带大家看一下具体的实现流程
分为两步:
1.求出图中的强联同分量,并转化为点
2.将转化出来的新的点建成一个新的图
step1:
如何求出强联通分量就不多说了(不会的去看上面的链接)
每一种强联通分量会缩成一个点,这个店的编号我们就定为发现它的顺序,也就是染上的颜色
每一种颜色(一个强联通分量)对应一个点
但是要在中间加一个操作,用来计算一个联通分量的所缩成的点的点权(看注释)
void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板 low[x]=dfn[x]=++tot;sta[++size]=x;book[x]=1;for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){if(!dfn[to1[e]]){Tarjan(to1[e],x);low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);}else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);}if(dfn[x]==low[x]){color[x]=++color_cnt;v2[color_cnt]=v[x];book[x]=0;while(sta[size]!=x){color[sta[size]]=color_cnt;book[sta[size]]=0;v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算,根据题目来确定 size--;}size--;}return ; }
step2:
建图的边怎么练一直是个难点,首先可以确定的是因为原来的强连通分量已经变成一个个的点了
所以肯定无法照搬原图
但也不可能自创,所以需要判断,从原来的图上选择那些边
选边的原则是不能是一个强连通分量里的边
也就是说别的边都可以选
那么有的人就问了,缩完点之后不担心友谊重边吗
这很好处理,用邻接矩阵来存(不推荐),或者在之后的程序中标记都可以
特别提到,印的图要用一个新的邻接表来存
而且要连接的不是原来的点,而是两个点被染成的颜色
代码实现的话很简单,循环和dfs都可以,这里我们采用循环(代码量较小)
void change(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){if(color[i]!=color[to1[e]]) add2(color[i],color[to1[e]]);}}return ; }
那么最后我们来总结一下代码
先给一组数据:(对应上面的图)
5 5 //点的数量 边的数量
1 1 1 1 1 //点权
1 2 //边
2 3
3 4
4 2
2 5
输出:
3 //新的点的数量
1 3 1 //新的点的权值
下面给出代码:
#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> using namespace std; inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} inline int rd(){int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';return x*f; } inline void write(int x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0');return ; } int n,m; int v[100006]; int head1[100006],nxt1[200006],to1[200006]; int total1=0; void add1(int x,int y){total1++;to1[total1]=y;nxt1[total1]=head1[x];head1[x]=total1;return ; } int dfn[100006],low[100006]; int color[100006]; int tot=0; int color_cnt=0; int book[100006]; int sta[100006]; int v2[100006]; int size=0; void Tarjan(int x,int fa){//Tarjan模板 low[x]=dfn[x]=++tot;sta[++size]=x;book[x]=1;for(int e=head1[x];e;e=nxt1[e]){if(!dfn[to1[e]]){Tarjan(to1[e],x);low[x]=min(low[x],low[to1[e]]);}else if(book[to1[e]]) low[x]=min(low[x],dfn[to1[e]]);}if(dfn[x]==low[x]){color[x]=++color_cnt;v2[color_cnt]=v[x];book[x]=0;while(sta[size]!=x){color[sta[size]]=color_cnt;book[sta[size]]=0;v2[color_cnt]+=v[sta[size]];//这个点的权值的计算,根据题目来确定 size--;}size--;}return ; } int head2[100006],nxt2[200006],to2[200006]; int total2=0; void add2(int x,int y){total2++;to2[total2]=y;nxt2[total2]=head2[x];head2[x]=total2;return ; } void change(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int e=head1[i];e;e=nxt1[e]){if(color[i]!=color[to1[e]]){add2(color[i],color[to1[e]]);//将两个点连边 }}}return ; }int main(){n=rd(),m=rd();for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=rd();//得到点权 for(int i=1;i<=m;i++){int x=rd(),y=rd();add1(x,y);//有向边 }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i,0);change();int ans=0;printf("%d\n",color_cnt);for(int i=1;i<=color_cnt;i++){printf("%d ",v2[i]);}return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/WWHHTT/p/9825766.html
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