信息学奥赛一本通 1085：球弹跳高度的计算

【题目链接】

ybt 1085：球弹跳高度的计算
OpenJudge NOI 1.5 20:球弹跳高度的计算

【题目考点】

1. 循环

【解题思路】

1. 使用循环描述球的弹跳过程

2. 数学计算

分析各次落地前弹跳的距离
设球的初始高度是hhh

第1次下落hhh，第1次落地，第1次反弹h2\frac{h}{2}2h
第2次下落h2\frac{h}{2}2h，第2次落地，第2次反弹h4\frac{h}{4}4h
第3次下落h4\frac{h}{4}4h，第3次落地，第3次反弹h8\frac{h}{8}8h
…
第i次下落h2i−1\frac{h}{2^{i-1}}2i−1h，第i次落地，第i次反弹h2i\frac{h}{2^i}2ih
第10次落地之前，共经历了10次下落，9次反弹，将下落和反弹的距离加和，设总距离为s：
s=h+h2+h2+h4+h4+...+h29+h29=h+2(h2+h4+...+h29)=h+h+h2+h4+...+h28\begin{aligned} s &= h + \frac{h}{2} +\frac{h}{2} + \frac{h}{4}+\frac{h}{4}+...+\frac{h}{2^{9}}+\frac{h}{2^{9}}\\&= h + 2(\frac{h}{2} + \frac{h}{4} + ... +\frac{h}{2^{9}}) \\ &= h + h + \frac{h}{2} + \frac{h}{4} + ... +\frac{h}{2^{8}} \end{aligned}s=h+2h+2h+4h+4h+...+29h+29h=h+2(2h+4h+...+29h)=h+h+2h+4h+...+28h
根据等比序列加和公式:
Sn=a11−qn1−qS_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}Sn=a11−q1−qn
可以得到
s=h(1+1+12+14+...+128)=h(1+1−(12)91−12)=h(3−128)\begin{aligned} s &= h(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... +\frac{1}{2^{8}}) \\ &=h(1 + \frac{1-(\frac{1}{2})^9}{1-\frac{1}{2}})\\ &= h(3 - \frac{1}{2^8}) \end{aligned}s=h(1+1+21+41+...+281)=h(1+1−211−(21)9)=h(3−281)
根据规律可知，第10次反弹的距离为：h210\frac{h}{2^{10}}210h

【题解代码】

解法1：使用循环描述球的运行过程

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{double h;//弹跳高度cin>>h;double sum = h;//sum：总距离，初始值设为h，即第一次下落的距离为hfor(int i = 2; i <= 10; ++i)//i表示第几次落地{h /= 2;//落地后弹跳高度变为原来的一半。h在运算后表示第i-1次落地后弹起的高度，也就是第i次下落的高度。sum += 2 * h;//球弹起距离h，下落距离h，经过2h距离后再次落地。运行这句后，此时sum表示第i次落地时小球经过的距离}//此时sum为第10次落地时经过的距离，h为第10次下落的高度，第10次弹起的高度应该为h/2cout<<sum<<endl<<h/2<<endl;return 0;
}

解法2：根据数学推导输出结果

在上述【解题思路】中得到结论：
球弹跳的总距离：h(3−128)h(3 - \frac{1}{2^8})h(3−281)
第10次弹起的距离：h210\frac{h}{2^{10}}210h

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{double h;cin>>h; cout<<h * (3 - 1 / pow(2, 8))<<endl<<h / pow(2, 10)<<endl;return 0;
}

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