对称柯西过程（Symmetric Cauchy process）

对称柯西过程属于Lévy过程的子类（Levy subordinator），可以用布朗运动或维纳过程来描述。Lévy从属者是与具有位置参数0和比例参数 $t^{2}/2$ 的与Lévy分布关联的过程。Lévy分布是反伽马分布的特例。因此，使用C表示柯西过程，并使用L表示Lévy子类，对称柯西过程可以描述为：

$C(t;0,1):=W(L(t;0,t^{2}/2))$

Lévy分布是布朗运动第一次撞击时间的概率，因此柯西过程本质上是两个独立布朗运动的结果过程。对称柯西过程的Lévy–Khintchine表示是具有零漂移和零扩散的三元组，给出的Lévy–Khintchine三元组为 $(0,0,W)$ ，其中：

$W(dx)=dx/(\pi x^{2})$

对称柯西处理的边际特征函数具有以下形式：

$E[e^{i\theta X_{t}}]=e^{-t|\theta|}$

对称柯西过程的边际概率分布是柯西分布，其密度为：

$f(x;t)=\frac{1}{\pi}[\frac{t}{x^{2}+t^{2}}]$

非对称柯西过程（Asymmetric Cauchy process）

非对称柯西过程是根据参数 $\beta$ 定义的。这里的 $\beta$ 是偏度参数（skewness parameter），其绝对值必须小于或等于 1。在 $|\beta|=1$ 的情况下，该过程被认为是完全不对称的柯西过程。

Lévy–Khintchine 三元组的形式为 $(0,0,W)$ ，其中

$W(dx)=\left\{ \begin{aligned} Ax^{-2}dx \:\:if\:x>0 \\ Bx^{-2}dx \:\:if\:x<0 \end{aligned} \right. ,where\:A\neq B,A>0\:and\:B>0$

鉴于此， $\beta$ 是A和B的函数。

非对称柯西分布的特征函数为：

$E[e^{i \theta X_{t}}]=e^{-t(|\theta|+i\beta\theta \ln|\theta|/(2\pi))}$

非对称柯西过程的边际概率分布是一个稳定指数（即 $\alpha$ 参数）等于1的稳态分布。

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