Gabor滤波器

1946年,Dennis Gabor于在“Theory of communication”一文中提出了著名的“窗口”傅里叶变换（也叫短时Fourier变换，STFT），即Gabor变换。
在图像处理邻域，Gabor小波是一种非常有效的纹理表示方法。
在空域，一个2维的Gabor滤波器是一个正弦平面波和高斯核函数的乘积：

其中s(x, y)是一个复正弦信号，称为载波，Wr(x, y)是一个二维信号高斯型函数，称为包络线。

复正弦载波

复正弦函数的定义如下:

式中(u0, v0)， P分别定义正弦信号的空间频率和相位。可以把这个正弦函数想象成两个独立的实函数，分别表示为复函数的实部和虚部：

可以直观的分别表示为：

参数u0和v0定义了直角坐标系中正弦信号的空间频率。这个空间频率也可以用极坐标表示为幅度F0和方向ω0:

则：

用这种表示法，复正弦函数是：

令

一般地，复正弦函数表示为:`

高斯滤波

二维高斯函数可以表示为：

那么将复正弦函和高斯滤波相乘，gabor滤波器复数形式可表示为：

下面更加直观地看一下这两者相乘的效果：

(a) 2D正弦面，(b)高斯核，©相应的Gabor滤波器。

参数解释

以上公式中各个参数说明：

波长（λ）：像素为单位，通常大于等于2.但不能大于输入图像尺寸的五分之一。

方向（θ）：并行条纹的方向，它的取值为0到360度

相位偏移（φ）：取值范围为-180度到180度。其中，0he180度分别对应中心对称函数，而-90度和90度对应反对称函数。

长宽比（γ）：纵横比，决定了Gabor函数形状。当γ= 1时，形状是圆的。当γ< 1时，形状随着平行条纹方向而拉长。

带宽（b）：Gabor滤波器的半响应空间频率带宽b和σ/ λ的比率有关，其中σ表示Gabor函数的高斯因子的标准差，如下：

下面给出不同参数下，gabor核函数的对比图：大小512*512

波长λ分辨分别为：8，16，32
方向（θ）分别为：0，45，90度

相位偏移（φ）分别为0，90，180度

长宽比（γ）分别为：0.5，1，2

带宽（b）分别为0.5，1，2

gabor滤波核实现

cv::Mat getGaborKernel(int ks, double sig, double th, double lm, double ps)
{int hks = (ks-1)/2;double theta = th*CV_PI/180;double psi = ps*CV_PI/180;double del = 2.0/(ks-1);double lmbd = lm;double sigma = sig/ks;double x_theta;double y_theta;cv::Mat kernel(ks,ks, CV_32F);for (int y=-hks; y<=hks; y++){for (int x=-hks; x<=hks; x++){x_theta = x*del*cos(theta)+y*del*sin(theta);y_theta = -x*del*sin(theta)+y*del*cos(theta);kernel.at<float>(hks+y,hks+x) = (float)exp(-0.5*(pow(x_theta,2)+pow(y_theta,2))/pow(sigma,2))* cos(2*CV_PI*x_theta/lmbd + psi);}}return kernel;
}

效果：

参考文献：
1、Gabor filter visualization
2、1-Petkov_Gabor_functions2011-Lecture notes
3、Texture features for browsing and retrieval of image data

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