最优流水作业调度问题

摘要

本文给出了双机流水作业调度的Johnson算法，并结合POJ上的一道题目详述了该算法的具体编程实现和应用。

关键词： 双机流水作业调度 Johnson算法

正文

流水作业是并行处理技术领域的一项关键技术，它是以专业化为基础,将不同处理对象的同一施工工序交给专业处理部件执行,各处理部件在统一计划安排下,依次在各个作业面上完成指定的操作。流水作业调度问题是一个非常重要的问题，其直接关系到计算机处理器的工作效率。然而由于牵扯到数据相关、资源相关、控制相关等许多问题，最优流水作业调度问题处理起来非常复杂。已经证明，当机器数(或称工序数)大于等于3时， 流水作业调度问题是一个NP-hard问题(e.g分布式任务调度)。粗糙地说，即该问题至少在目前基本上没有可能找到多项式时间的算法。只有当机器数为2时，该问题可有多项式时间的算法(机器数为1时该问题是平凡的)。

我们先给出流水作业调度的定义：

设有 n 个作业，每一个作业 i 均被分解为 m 项任务: Ti1,Ti2,… ,Tim(1≤i≤n，故共有n×m个任务)， 要把这些任务安排到m台机器上进行加工。 如果任务的安排满足下列3个条件， 则称该安排为流水作业调度：

1. 每个作业 i 的第 j 项任务Tij (1≤i≤n,1≤j≤m) 只能安排在机器Pj上进行加工； 2. 作业 i 的第 j 项任务Tij(1≤i≤n,2≤j≤m)的开始加工时间均安排在第j−1项任务

Ti,j−1加工完毕之后，任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开始着手下一项任务；

3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。 最优流水作业调度是指：

设任务Tij在机器Pj上进行加工需要的时间为tij。 如果所有的tij (1≤i≤n,1≤j≤m)均已给出， 要找出一种安排任务的方法， 使得完成这 n 个作业的加工时间为最少。 这个安排称之为最优流水作业调度。

前面已经说过，当m≥3时该问题是NP问题，这里我们只给出m=2时时间复杂度在多项式以内的Johnson算法。

求解流水作业调度问题的Johnson算法具体描述如下：

1) 设a[i]和b i (0≤i

号，处理时间，设备号)组成的三元组表d。其中，处理时间是指每个作业所包含的两个任务中时间较少的处理时间。

设n=4， a0,a1,a2,a3 =(3,4,8,10)和 b0,b1,b2,b3 =(6,2,9,15)的作业0的三元组为(0,3,0)，作业1的三元组为(1,2,1)。 如图(a)所示。

2) 对三元组表按处理时间排序，得到排序后的三元组表d。如图(b)所示。

3) 对三元组表的每一项d[i](0≤i

是作业号。如果d[i]设备号为1，则将作业 i 置于 c 的左端末尾，否则置于 c 的右端末尾。如图(c)所示，由两端向中间存放。 a) 三元组表

b) 按处理时间排序

c) 最优作业排列 (0,2,3,1) d) 最优调度方案

该算法是如此经典以至于ACM界已经有该算法的题目，下面是北大PKU POJ 第2751题Saving Endeavour(我校的BOJ上也有，不过是从POJ上照搬过来的)：

有2台机器，n件任务，必须先在S1上做，再在S2上做。任务之间先做后做任意。求最早的完工时间。

双机调度问题Johnson算法简析:

1) 把作业按工序加工时间分成两个子集，第一个集合中在S1上做的时间比在S2上少，其

它的作业放到第二个集合。先完成第一个集合里面的作业，再完成第二个集合里的作业。 2) 对于第一个集合，其中的作业顺序是按在S1上的时间的不减排列；对于第二个集合，

其中的作业顺序是按在S2上的时间的不增排列。

Johnson算法的时间取决于对作业集合的排序,因此,在最怀情况下算法的时间复杂度为O(nlogn),所需的空间复杂度为O(n)。

c语言代码如下： #include #include #include using namespace std;

const int MAXN=10005;

struct TNode {

int s1,s2; }ws[MAXN];

int topf,tops; int n;

bool operator

if (x.s1=y.s2) return true; if (x.s1=x.s2&&y.s1>=y.s2) return x.s2>y.s2; return false; }

int max(int x,int y) {

return x>y?x:y; }

void Work() {

sort(ws,ws+n); int i,t1=0,t2=0; for (i=0;i

t1+=ws.s1;

t2=max(t1,t2)+ws.s2; }

printf("%dn",t2); }

void Read() {

int i;

while (scanf("%d",&n)&&n) {

for (i=0;i

scanf("%d%d",&ws.s1,&ws.s2); Work(); } }

int main() {

Read(); return 1; }