明显地，dijkstra计算不了的存在负权边或负权环的图，因此我们需要了解更常用的最短路算法：Bellman-Ford算法。

负权回路对单源最短路径的影响

在某些单源最短路的问题中，可能存在负权为负的边。如果图G(V,E)不包含由源点s可达的负权回路，则对于所有的点v，从s抵达点v的最短路径权值&（s，v）依然正确，即使某一些边是负数也是如此。

但如果存在一个从s可达的负权回路，最短路径的定义就不能成立了。
从s到该节点不再存在最短路径，因为我们可以沿着负权环，每走一圈都能获得权值更小的路径，可以无限小的“最短路径”，因此如果从s到v的某条路径存在负权回路，我们定义&（s,v）=- ∞ \infty ∞

使用bellman-Ford算法可以处理存在负权边、负权环的图。

bellman-ford

存在一个图G<V,E>，设图G有n个点。
假设起点为u，终点为v
从u到v如果存在最短路径，且每个顶点最多经过一次，可以发现该路径上的点数最多为n个，有n-1条边；最长的路径经过n-1条边。
从dijkstra算法中，我们从原点出发，使用最小点向外扩展更优路径，直到终点为止。
可以发现，路径的长度逐渐延长。对于一条长度 <= k的路径可以由：
①长度 <= k-1的路径再加一条边得到；
②长度 <= k-1的路径直接抵达点v；

动规

定义 d[v][k] 的含义为源点s到每个点的最短距离经过不超过k条边
设存在一个点u，u->v的权值为w
则可以从点u添加一条边u->v，抵达点v。
则此时d[v][k]可更新为min(d[v][k] , d[u][k-1]+w);
当然地，对于d[v][k]也可以使用更少的边抵达，也就是说d[v][k]可以使用d[v][k-1]进行更新，
因此 d [ v ] [ k ] = m i n { d [ u ] [ k − 1 ] + w d [ v ] [ k − 1 ] d[v][k]=min \begin{cases} d[u][k-1]+w\\ d[v][k-1] \end{cases} d[v][k]=min{d[u][k−1]+wd[v][k−1]
由于最长的路径最多有n-1条边，因此可以将k从1~n-1进行递推，递推结束后，图上的所有路径都会枚举结束，得到最小路径。

步骤：
for循环①，从1到n-1，枚举路径长度k
for循环②，对于每一个路径长度k，我们可以枚举每一条边u->v，松弛（u , v , w）
也就是进行动规递推： d [ v ] [ k ] = m i n { d [ u ] [ k − 1 ] + w d [ v ] [ k − 1 ] d[v][k]=min \begin{cases} d[u][k-1]+w\\ d[v][k-1] \end{cases} d[v][k]=min{d[u][k−1]+wd[v][k−1]

d[]：从源点s到其他顶点的最短路径长初始为无穷大，自然地，从s到s的距离为0。代表从s到各个顶点的最短路径长度。
1.初始化：除了起点的距离为0外（d[s] = 0），其他均设为无穷大。
2.迭代求解：循环对边集合E的每条边进行松弛操作，使得顶点集合V中的每个顶点v的距离长逐步逼近最终等于其最短距离长；
3.验证是否负权环：再对每条边进行松弛操作。如果还能有一条边能进行松弛，那么就返回False，否则算法返回True

代码如下：

到此时，算法初步完成，但是如何去判断是否存在负权环呢？

思考，如果出现负权环，会发生什么？

如果出现负权环，最短路径的长度一定会无限增长。再走一遍该算法，依然会继续更新负权环路径上的更优路径，
而如果没有负权环，该算法循环n-1次后，将会获得最短路径，就算再走一遍也不会获得更优路径
因此，再循环一次上诉步骤，一旦发现存在一条边u->v需要进行松弛，也就是d[v]>d[u]+w;
则存在负权回路，中止算法。

时间复杂度：

可以发现，算法的运行时间并不理想，如何优化？

分析一次bellman-Ford运行过程，发现存在大量的边不能进行松弛，却依然被枚举了

思考：在bellman-ford中，哪些边才是真正需要松弛地呢？

可以发现，如果某个点，在本次循环中被松弛了，那么显然它也有了松弛别人的资本
因此，只有被松弛的点，才能在下一次循环中松弛别人。
也就是说，只有被松弛的点对应的邻接边，会继续进行松弛，我们只需要考虑这些边就可以了，怎么修改算法呢?

记录被松弛过的点，然后在以后的循环中只枚举这些点对应的邻接边，如何记录点呢？

很简单地，我们就想到了队列，枚举队头的邻接边，执行松弛操作，将被松弛过的点入队。如此反复，便可实现，只枚举有需要枚举的边。
而使用这种方法优化的算法就是：

SPFA算法

SPFA算法是Bellman-Ford的一个优化算法，
与dijkstra和Bellman-Ford算法一样，使用邻接表vector存图，用数组记录每个节点的最短路长。
①设立队列q，用来保存被松弛过的点，这些被松弛过的点才有更优解去松弛它的邻接点，我们称这些被松弛过的点为“待优化”的节点。
②从队头取出待优化的节点u，枚举它的邻接点进行松弛，通过路径u->v，权值为w，如果存在d[u]+w<d[v]，则更新d[v]。
也就是使用d[u]去更新它的邻接点d[v]的更优路径，而这些邻接点v一旦被更新，显然，在下一次循环中：
③我们又可以以v为出发点，去继续更新点v的邻接点，因此我们把点v入队。
这样不断地从队列中取出节点进行松弛操作，直到队列为空。
代码如下：

void spfa(int st){memset(d,0x7f,sizeof(d));d[st]=0;q.push(st);while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=0;i<g[u].size();i++){int v=g[u][i].v;int w=g[u][i].w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;q.push(v); }}}
}

我们大功告成了吗？
如果存在图，如右图所示：

可以发现，节点u多次入队，那我们应该怎么办？
显然，某一个节点入队了，表示它处于待优化状态，后面如果依然发现存在更优路径，d[v]被更新。然而如果此时点v仍在队内，当它出队时我们使用的是新的d[v]对邻接点进行松弛，所以没有必要在后面再次入队，已经在队里面的，不需要重复入队了。
简单地，使用数组标记即可，所以代码修改为：

void spfa(int st){memset(d,0x7f,sizeof(d));d[st]=0;q.push(st);inque[st]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;for(int i=0;i<g[u].size();i++){int v=g[u][i].v;int w=g[u][i].w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;if(inque[v]==0){q.push(v);inque[v]=1;} }}}
}

再次灵魂拷问，解决问题了吗？
如果存在负权回路那怎么办呢？
观察每一个点v，它最多被其他节点更新几次呢？
如果不存在负权回路，显然其他的各个节点都有可能更新节点v的路径d[v]，最坏情况下，其他的所有节点都更新一次点v，也就是说点v最多被更新n-1次，如果点v被更新了n次，意味着什么？
显然存在负权环，可以无限更新。
那么我们判环的操作就简单了，只需要记录节点被更新的次数即可，如何记录？
简单地，依然使用数组计数，另开数组count，在哪里记录？
松弛操作：if(d[v]>d[u]+w) count[v]++???
代码如下：

bool spfa(int st){memset(d,0x7f,sizeof(d));d[st]=0;q.push(st);inque[st]=1;count[st]++;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;for(int i=0;i<g[u].size();i++){int v=g[u][i].v;int w=g[u][i].w;if(d[v]>d[u]+w){d[v]=d[u]+w;if(inque[v]==0){q.push(v);inque[v]=1;count[v]++;if(count[v]==n)return false;} }}}return true;
}

步骤如下：
（1）初始化：将源点到每一点的距离dis初始化为+∞，将标记数组vis初始化为false，表示所有点都没有入队；更新源点的dis为0，同时将源点入队，改变vis为true；

（2）松弛更新操作：每次取队头元素tmp（更新vis[ tmp ]为false），枚举从tmp出发的每一条边，如果某条边能够松弛且该点没有在队列中，那么将该点入队；直至队列为空；

（3）判负环：如果图中某点入队的次数超过n，那么图中存在负环（SPFA无法处理带负环的问题）。

SPFA与Bellman-Ford算法的区别：
同：两者都属于标号修正的范畴，计算过程都是迭代式的，最短路长估计值都是临时的，都采用了不断逼近最优解的贪心策略，只在最后一步才确定想要的结果。
差异：在Bellman-Ford算法中，要是某个点的最短路长估计值被更新了，那么就必须对所有边的尾做一次松弛操作；在SPFA算法中，某个点的最短路径估计值被更新，仅需要对该点出边的端点做一次松弛操作。

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