高阶导数

1.高阶导数的运算公式

公式1（线性运算）：设 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)都是 n n n阶可导的，则 [ c 1 f ( x ) + c 2 g ( x ) ] ( n ) = c 1 f ( n ) ( x ) + c 2 g ( n ) ( x ) [c_1f(x)+c_2g(x)]^{(n)}=c_1f^{(n)}(x)+c_2g^{(n)}(x) [c1f(x)+c2g(x)](n)=c1f(n)(x)+c2g(n)(x)。

公式2（乘法运算，Leibniz）：设 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)都是 n n n阶可导的，则
[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] ( n ) = ∑ k = 0 n C n k f ( n − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) . [f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^n {\rm C}_n^kf^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x). [f(x)⋅g(x)](n)=k=0∑nCnkf(n−k)(x)g(k)(x).
证明：用数学归纳法。

n = 1 n=1 n=1时，显然 [ f ( x ) g ( x ) ] ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，满足公式的形式。

如果 n = m n=m n=m时Leibniz公式成立，即 [ f ( x ) g ( x ) ] ( m ) = ∑ k = 0 m C m k f ( m − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) [f(x)g(x)]^{(m)}=\sum\limits_{k=0}^m {\rm C}_m^k f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x) [f(x)g(x)](m)=k=0∑mCmkf(m−k)(x)g(k)(x)，则
[ f ( x ) g ( x ) ] ( m + 1 ) = { [ f ( x ) g ( x ) ] ( m ) } ′ = ( ∑ k = 0 m C m k f ( m − k ) ( x ) g ( k ) ( x ) ) ′ = ∑ k = 0 m C m k [ f ( m − k + 1 ) ( x ) g ( k ) ( x ) + f ( m − k ) ( x ) g ( k + 1 ) ( x ) ] = ∑ k = 0 m C m k f ( m − k + 1 ) ( x ) g ( k ) ( x ) + ∑ k = 0 m C m k f ( m − k ) ( x ) g ( k + 1 ) ( x ) = f ( m + 1 ) ( x ) g ( x ) + ∑ k = 1 m C m k f ( m − k + 1 ) ( x ) g ( k ) ( x ) + ∑ k = 0 m − 1 C m k f ( m − k ) ( x ) g ( k + 1 ) ( x ) + f ( x ) g ( m + 1 ) ( x ) = f ( m + 1 ) ( x ) g ( x ) + ∑ k = 1 m ( C m k + C m k − 1 ) f ( m − k + 1 ) ( x ) g ( k ) ( x ) + f ( x ) g ( m + 1 ) ( x ) = f ( m + 1 ) ( x ) g ( x ) + ∑ k = 1 m C m + 1 k f [ ( m + 1 ) − k ] ( x ) g ( k ) ( x ) + f ( x ) g ( m + 1 ) ( x ) = ∑ k = 0 m + 1 C m + 1 k f [ ( m + 1 ) − k ] ( x ) g ( k ) . \begin{aligned} &\left[f(x)g(x)\right]^{(m+1)}\\ =&\left\{[f(x)g(x)]^{(m)}\right\}'\\ =&\left(\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x) \right)'\\ =&\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^k[f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)]\\ =&\sum_{k=0}^m {\rm C}_m^kf^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^{m-1}{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m({\rm C}_m^k+{\rm C}_m^{k-1})f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m{\rm C}_{m+1}^kf^{[(m+1)-k]}(x)g^{(k)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&\sum_{k=0}^{m+1}{\rm C}_{m+1}^kf^{[(m+1)-k]}(x)g^{(k)}. \end{aligned} ========[f(x)g(x)](m+1){[f(x)g(x)](m)}′(k=0∑mCmkf(m−k)(x)g(k)(x))′k=0∑mCmk[f(m−k+1)(x)g(k)(x)+f(m−k)(x)g(k+1)(x)]k=0∑mCmkf(m−k+1)(x)g(k)(x)+k=0∑mCmkf(m−k)(x)g(k+1)(x)f(m+1)(x)g(x)+k=1∑mCmkf(m−k+1)(x)g(k)(x)+k=0∑m−1Cmkf(m−k)(x)g(k+1)(x)+f(x)g(m+1)(x)f(m+1)(x)g(x)+k=1∑m(Cmk+Cmk−1)f(m−k+1)(x)g(k)(x)+f(x)g(m+1)(x)f(m+1)(x)g(x)+k=1∑mCm+1kf[(m+1)−k](x)g(k)(x)+f(x)g(m+1)(x)k=0∑m+1Cm+1kf[(m+1)−k](x)g(k).
这就说明Leibniz公式对 n = m + 1 n=m+1 n=m+1也成立。此处的关键证明步骤是对求和项系数的变换。

2.其他形式的二阶导

隐函数 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0的二阶导，直接对 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0两边求二阶导数然后整理即可。

对于复合函数 y = f ( u ) , u = g ( x ) y=f(u),u=g(x) y=f(u),u=g(x)，其二阶导求法如下：
d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = d d x ( d y d u ⋅ d u d x ) = ( d d x d y d u ) ⋅ d u d x + d y d u ⋅ d d x ( d u d x ) = ( d d u d y d u ⋅ d u d x ) ⋅ d u d x + d y d u d 2 u d x 2 = d 2 y d u 2 ( d u d x ) 2 + d y d u d 2 u d x 2 . \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=&\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)\\ =&\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right)\\ =&\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\right)\cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}\right)\\ =&\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right)\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}^2u}{{\rm d}x^2}\\ =&\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}u^2}\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}\right)^2+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}^2u}{{\rm d}x^2}. \end{aligned} dx2d2y=====dxd(dxdy)dxd(dudy⋅dxdu)(dxddudy)⋅dxdu+dudy⋅dxd(dxdu)(duddudy⋅dxdu)⋅dxdu+dudydx2d2udu2d2y(dxdu)2+dudydx2d2u.
注意，对于复合函数，能用于最终结果的只有 d n y d u n \dfrac{{\rm d}^ny}{{\rm d}u^n} dundny和 d n u d x n \dfrac{{\rm d}^nu}{{\rm d}x^n} dxndnu，而不能够包括其他的含导数项。

对于参数方程函数 x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) x=\varphi(t),y=\psi(t) x=φ(t),y=ψ(t)，由于 d y d x = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} dxdy=φ′(t)ψ′(t)，所以其二阶导相当于对以下参数方程求导：
{ x = φ ( t ) , y = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) . \left\{ \begin{array}l x=\varphi(t),\\ y=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}. \end{array} \right. ⎩⎨⎧x=φ(t),y=φ′(t)ψ′(t).
所以
d 2 y d x 2 = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) [ φ ′ ( t ) ] 2 φ ′ ( t ) = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) φ ′ ′ ( t ) [ φ ′ ( t ) ] 3 . \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=\frac{\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^2}}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}. dx2d2y=φ′(t)[φ′(t)]2ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)=[φ′(t)]3ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t).

3.求高阶导数的方法

(1)部分初等函数的高阶导数

一、求 y = a x y=a^x y=ax的 n n n阶导数。

观察容易得出 y ( n ) ( x ) = ( ln ⁡ a ) n a x y^{(n)}(x)=(\ln a)^na^x y(n)(x)=(lna)nax，可以用归纳法证明。

二、求 y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx的 n n n阶导数。

观察容易得出 y ( n ) ( x ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) y^{(n)}(x)=\sin (x+\frac{n\pi}2) y(n)(x)=sin(x+2nπ)，下用归纳法证明。显然对于 n = 1 n=1 n=1成立，如果对 n = m n=m n=m成立，则
y ( m + 1 ) ( x ) = [ y ( m ) ] ′ = cos ⁡ ( x + n π 2 ) = sin ⁡ ( x + n π 2 + π 2 ) = sin ⁡ ( x + ( n + 1 ) π 2 ) . y^{(m+1)}(x)=[y^{(m)}]'=\cos (x+\frac{n\pi}{2})=\sin (x+\frac{n\pi}{2}+\frac \pi2)=\sin (x+\frac{(n+1)\pi}2). y(m+1)(x)=[y(m)]′=cos(x+2nπ)=sin(x+2nπ+2π)=sin(x+2(n+1)π).
所以结论是成立的。

三、求 y = cos ⁡ x y=\cos x y=cosx的 n n n阶导数。

观察容易得出 y ( n ) ( x ) = cos ⁡ ( x + n π 2 ) y^{(n)}(x)=\cos(x+\frac{n\pi}2) y(n)(x)=cos(x+2nπ)，可以用归纳法证明。

四、求 y = x a y=x^a y=xa的 n n n阶导数。

观察容易得出
y ( n ) = a ( a − 1 ) ⋯ ( a − n + 1 ) x a − n . y^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)x^{a-n}. y(n)=a(a−1)⋯(a−n+1)xa−n.
特别当 a a a为正整数时，必定有 y ( a ) = C y^{(a)}=C y(a)=C，所以 y ( a + 1 ) = 0 y^{(a+1)}=0 y(a+1)=0。

五、求 y = ln ⁡ x y=\ln x y=lnx的 n n n阶导数。

由于 y ′ = x − 1 y'=x^{-1} y′=x−1，所以根据 y = x a y=x^a y=xa的导数可以得到
y ( n ) = ( x − 1 ) ( n − 1 ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ⋅ x − n . y^{(n)}=(x^{-1})^{(n-1)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n}. y(n)=(x−1)(n−1)=(−1)n−1(n−1)!⋅x−n.

(2)利用微分方程求高阶导数

一、令 y = arctan ⁡ x y=\arctan x y=arctanx，求 y ( n ) ( 0 ) y^{(n)}(0) y(n)(0)。

由于
y ′ = 1 1 + x 2 , y ′ ′ = − 2 x ( 1 + x 2 ) 2 , y'=\frac{1}{1+x^2},y''=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}, y′=1+x21,y′′=(1+x2)2−2x,
所以有
( 1 + x 2 ) y ′ = 1. (1+x^2)y'=1. (1+x2)y′=1.
对等式两边同时求 n n n阶导得
( 1 + x 2 ) y ( n + 1 ) + 2 n x y ( n ) + n ( n − 1 ) y ( n − 1 ) = 0. (1+x^2)y^{(n+1)}+2nxy^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0. (1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+n(n−1)y(n−1)=0.
代入 x = 0 x=0 x=0，就得到 y ( n + 1 ) ( 0 ) = − n ( n − 1 ) y ( n − 1 ) ( 0 ) y^{(n+1)}(0)=-n(n-1)y^{(n-1)}(0) y(n+1)(0)=−n(n−1)y(n−1)(0)，也就是 y ( n + 2 ) ( 0 ) = − n ( n + 1 ) y ( n ) y^{(n+2)}(0)=-n(n+1)y^{(n)} y(n+2)(0)=−n(n+1)y(n)。由于 y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 1 y(0)=0,y(1)=1 y(0)=0,y(1)=1，所以
y ( n ) ( 0 ) = { 0 , n 为偶数 ; ( − 1 ) n − 1 2 ( n − 1 ) ! , n 为奇数 . y^{(n)}(0)=\left\{ \begin{array}l 0,&n为偶数;\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}(n-1)!,&n为奇数. \end{array} \right. y(n)(0)={0,(−1)2n−1(n−1)!,n为偶数;n为奇数.
二、令 y = arcsin ⁡ x y=\arcsin x y=arcsinx，求 y ( n ) ( 0 ) y^{(n)}(0) y(n)(0)。

由于
y ′ = ( 1 − x 2 ) − 1 2 , y ′ ′ = x ( 1 − x 2 ) − 3 2 . y'=(1-x^2)^{-\frac 12},y''=x(1-x^2)^{-\frac 32}. y′=(1−x2)−21,y′′=x(1−x2)−23.
所以
( 1 − x 2 ) y ′ ′ − x y ′ = 0. (1-x^2)y''-xy'=0. (1−x2)y′′−xy′=0.
两边同时求 n n n阶导，得到
2 ( 1 − x 2 ) y ( n + 2 ) − 4 n x y ( n + 1 ) − 2 n ( n − 1 ) y ( n ) − x y ( n + 1 ) − n y ( n ) = 0. 2(1-x^2)y^{(n+2)}-4nxy^{(n+1)}-2n(n-1)y^{(n)}-xy^{(n+1)}-ny^{(n)}=0. 2(1−x2)y(n+2)−4nxy(n+1)−2n(n−1)y(n)−xy(n+1)−ny(n)=0.
两边同时代入 x = 0 x=0 x=0，得到
y ( n + 2 ) ( 0 ) = n 2 y ( n ) ( 0 ) . y^{(n+2)}(0)=n^2y^{(n)}(0). y(n+2)(0)=n2y(n)(0).
由于 y ( 0 ) = 0 , y ( 1 ) = 1 y^{(0)}=0,y^{(1)}=1 y(0)=0,y(1)=1，所以
y ( n ) ( 0 ) = { [ ( n − 2 ) ! ! ] 2 , n 为奇数 ; 0 , n 为偶数 . y^{(n)}(0)=\left\{ \begin{array}l [(n-2)!!]^2,&n为奇数;\\ 0,&n为偶数. \end{array} \right. y(n)(0)={[(n−2)!!]2,0,n为奇数;n为偶数.

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