文章目录

胁变与胁强
- 胁变
- 胁强
- 体胀
胡克定理
- 胡克定理
- 胁变与胁强的关系
- 应变能
胁变&胁强主轴
- 胁变主轴
- 胁强主轴
拉密方程
- 胁变的连续性分析
- 相容条件
- 拉密方程
- 横波与纵波

矢量力学与分析力学都基于研究系统由质点与刚体组成的假设，不考虑物体的大小、形状、自转的影响；而本文考虑物体的大小、形状并主要研究形变。

变形体一般可分为两类：

弹性体：具有保持一定大笑与形状的趋势，在力的作用下发生形变，外力撤销后又恢复原状；
流体：完全没有一定的形状；

本文研究弹性体的形变，同时又基于一定的假设：1、所有物质均为各向同性，且为典型的弹性体；2、弹性体遵循线性胡克定理且形变可逆；3、物体结构连续并忽略离散的微观结构，只研究宏观行为，所有的无穷小量对宏观结构小到结构连续而对微观结构又大到可忽略离散性质；

胁变与胁强

胁变

如图，以弹性体微小长方体部分的 x O y xOy xOy平面为例：

轴法向的相对拉伸形变称为张胁变，并以面外法向正方向为正（拉）以负方向为负（缩），以 x x x轴方向张变 ε 11 \varepsilon_{11} ε11为例：
ε 11 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ ξ Δ x \varepsilon_{11}=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{\Delta \xi}{\Delta x} ε11=Δx→0limΔxΔξ
轴切向的形变角可分为两类，一类表征纯切胁变，并以图中方向为正；一类表征旋转，以旋转轴方向为正；以 x O y xOy xOy平面的切变 ε 12 \varepsilon_{12} ε12与 z z z轴方向的旋转 φ 3 \varphi_3 φ3为例：
ε 12 = γ 12 + γ 21 2 , φ 3 = γ 21 − γ 12 2 γ 12 = lim ⁡ Δ y → 0 Δ ξ Δ y , γ 21 = lim ⁡ Δ x → 0 Δ η Δ x \varepsilon_{12}=\cfrac{\gamma_{12}+\gamma_{21}}{2},\varphi_3=\cfrac{\gamma_{21}-\gamma_{12}}{2} \\ \gamma_{12}=\lim_{\Delta y\to 0}\cfrac{\Delta \xi}{\Delta y},\gamma_{21}=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{\Delta \eta}{\Delta x} ε12=2γ12+γ21,φ3=2γ21−γ12γ12=Δy→0limΔyΔξ,γ21=Δx→0limΔxΔη
因此胁变 ε i j \varepsilon_{ij} εij有6个独立变量；

其可分为由胁强导致的形变 ε i j p \varepsilon_{ij}^p εijp与温升导致的体胀 ε i j T \varepsilon_{ij}^T εijT两部分：
ε i j = ε i j p + ε i j T ( i , j = 1 , 2 , 3 ) \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ij}^p+\varepsilon_{ij}^T\ \ \ (i,j=1,2,3) εij=εijp+εijT (i,j=1,2,3)

胁强

如图，以弹性体微小部分为例， y O z yOz yOz平面上的相对外力分为 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z三个方向，分别记作 σ 11 、 σ 21 、 σ 31 \sigma_{11}、\sigma_{21}、\sigma_{31} σ11、σ21、σ31，均以面外法向正方向为正（拉力）以负方向为负（压力）；相对外力具有压强的量纲：
σ i j = lim ⁡ Δ S j → 0 Δ F i Δ S j \sigma_{ij}=\lim_{\Delta S_j\to 0}\cfrac{\Delta F_i}{\Delta S_j} σij=ΔSj→0limΔSjΔFi
其中 σ 11 \sigma_{11} σ11垂直于作用面，称为正应力（张胁强）； σ 21 、 σ 31 \sigma_{21}、\sigma_{31} σ21、σ31平行于作用面，称为剪应力（切胁强），且由于力矩平衡剪应力有关系：
σ i j = σ j i ( i ≠ j ) \sigma_{ij}=\sigma_{ji}\ \ \ (i\ne j) σij=σji (i=j)
同理胁强 σ i j \sigma_{ij} σij也有6个独立变量；

体胀

容易得到胁变与体胀系数的关系：
Θ = lim ⁡ V → 0 Δ V V = ε 11 + ε 22 + ε 33 \Theta=\lim_{V\to 0}\cfrac{\Delta V}{V}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} Θ=V→0limVΔV=ε11+ε22+ε33
也可分为胁强体胀与温升体胀两部分：（其中 α = 1 V ( ∂ V ∂ T ) p \alpha=\cfrac{1}{V}\left( \cfrac{\partial V}{\partial T} \right)_p α=V1(∂T∂V)p为等压体胀系数）
Θ = Θ p + Θ T Θ p = ε 11 p + ε 22 p + ε 33 p , Θ T = ∫ α d T \Theta=\Theta^p+\Theta^T \\ \Theta^p=\varepsilon_{11}^p+\varepsilon_{22}^p+\varepsilon_{33}^p,\Theta^T=\int \alpha\text{d}T Θ=Θp+ΘTΘp=ε11p+ε22p+ε33p,ΘT=∫αdT
同时，平均正应力与胁强体胀系数也有线性关系，其比例称为体胀模量 K K K：
σ ˉ = 1 3 ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) = K Θ p , K = E 3 ( 1 − 2 v ) \bar \sigma=\cfrac{1}{3}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})=K\Theta^p,K=\cfrac{E}{3(1-2v)} σˉ=31(σ11+σ22+σ33)=KΘp,K=3(1−2v)E
只有受压力下体积被压缩的弹性体才是稳定的，因此泊松比还有限制条件：
v < 1 2 v<\cfrac{1}{2} v<21

胡克定理

正应力 σ 11 \sigma_{11} σ11会造成该轴方向的正张变 ε 11 p \varepsilon_{11}^p ε11p与其余两轴方向的负张变 ε 22 p 、 ε 33 p \varepsilon_{22}^p、\varepsilon_{33}^p ε22p、ε33p；其变化遵循线性关系，比例称为杨氏模量 E E E与泊松比 v v v：
σ 11 = E ε 11 p ε 22 p = ε 33 p = − v ε 11 p \sigma_{11}=E\varepsilon_{11}^p \\ \varepsilon_{22}^p=\varepsilon_{33}^p=-v\varepsilon_{11}^p σ11=Eε11pε22p=ε33p=−vε11p
剪应力 σ 12 \sigma_{12} σ12会造成两轴交面的正切变 ε 12 p \varepsilon_{12}^p ε12p；其变化遵循线性关系，比例称为切变模量 G G G：
σ 12 = 2 G ε 12 p \sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}^p σ12=2Gε12p
切变模量、杨氏模量、泊松比间有关系：
G = E 2 ( 1 + v ) G=\cfrac{E}{2(1+v)} G=2(1+v)E

胁变与胁强的关系

综合胡克定律，可得到胁强 σ i j \sigma_{ij} σij到胁变 ε i j p \varepsilon_{ij}^p εijp的本构关系：
{ ε 11 p = + 1 E σ 11 − v E σ 22 − v E σ 33 ε 22 p = − v E σ 11 + 1 E σ 22 − v E σ 33 ε 33 p = − v E σ 11 − v E σ 22 + 1 E σ 33 { ε 12 p = ε 21 p = 1 2 G σ 12 = 1 2 G σ 21 ε 23 p = ε 32 p = 1 2 G σ 23 = 1 2 G σ 32 ε 31 p = ε 13 p = 1 2 G σ 31 = 1 2 G σ 13 \left \{ \begin{array}{c} \varepsilon_{11}^p=+\cfrac{1}{E}\sigma_{11}-\cfrac{v}{E}\sigma_{22}-\cfrac{v}{E}\sigma_{33} \\ \varepsilon_{22}^p=-\cfrac{v}{E}\sigma_{11}+\cfrac{1}{E}\sigma_{22}-\cfrac{v}{E}\sigma_{33} \\ \varepsilon_{33}^p=-\cfrac{v}{E}\sigma_{11}-\cfrac{v}{E}\sigma_{22}+\cfrac{1}{E}\sigma_{33} \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array}{c} \varepsilon_{12}^p=\varepsilon_{21}^p=\cfrac{1}{2G}\sigma_{12}=\cfrac{1}{2G}\sigma_{21} \\ \varepsilon_{23}^p=\varepsilon_{32}^p=\cfrac{1}{2G}\sigma_{23}=\cfrac{1}{2G}\sigma_{32} \\ \varepsilon_{31}^p=\varepsilon_{13}^p=\cfrac{1}{2G}\sigma_{31}=\cfrac{1}{2G}\sigma_{13} \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ε11p=+E1σ11−Evσ22−Evσ33ε22p=−Evσ11+E1σ22−Evσ33ε33p=−Evσ11−Evσ22+E1σ33⎩ ⎨ ⎧ε12p=ε21p=2G1σ12=2G1σ21ε23p=ε32p=2G1σ23=2G1σ32ε31p=ε13p=2G1σ31=2G1σ13
同理可得到胁变 ε i j p \varepsilon_{ij}^p εijp到胁强 σ i j \sigma_{ij} σij的本构关系：
{ σ 11 = λ Θ p + 2 G ε 11 p σ 22 = λ Θ p + 2 G ε 22 p σ 33 = λ Θ p + 2 G ε 33 p { σ 12 = 2 G ε 12 p σ 23 = 2 G ε 23 p σ 31 = 2 G ε 31 p \left \{ \begin{array}{c} \sigma_{11}=\lambda\Theta^p+2G\varepsilon_{11}^p \\ \sigma_{22}=\lambda\Theta^p+2G\varepsilon_{22}^p \\ \sigma_{33}=\lambda\Theta^p+2G\varepsilon_{33}^p \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array}{c} \sigma_{12}=2G\varepsilon_{12}^p \\ \sigma_{23}=2G\varepsilon_{23}^p \\ \sigma_{31}=2G\varepsilon_{31}^p \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧σ11=λΘp+2Gε11pσ22=λΘp+2Gε22pσ33=λΘp+2Gε33p⎩ ⎨ ⎧σ12=2Gε12pσ23=2Gε23pσ31=2Gε31p
其中 λ = v ( 1 + v ) ( 1 − 2 v ) E \lambda=\cfrac{v}{(1+v)(1-2v)}E λ=(1+v)(1−2v)vE为拉密模量；上述方程也可以简化为以下形式：
ε i j p = 1 2 G ( σ i j − δ i j v 1 + v Θ p ) σ i j = 2 G ε i j p + δ i j λ Θ p \varepsilon_{ij}^p=\cfrac{1}{2G}\left(\sigma_{ij}-\delta_{ij}\cfrac{v}{1+v}\Theta^p\right) \\ \sigma_{ij}=2G\varepsilon_{ij}^p+\delta_{ij}\lambda\Theta^p εijp=2G1(σij−δij1+vvΘp)σij=2Gεijp+δijλΘp
以上是各向同性弹性体的本构方程，6个胁变与6个胁强间通过36个系数的方阵联系，由于系数 E 、 v 、 G 、 K 、 λ E、v、G、K、\lambda E、v、G、K、λ间只有两个独立，因此36个本构系数中只有2个独立；

当弹性体各向异性时，方阵系数的独立变量会变多，且各向异性越强独立个数越多，最多可达到21个（由于方阵的对称性最多只有21个独立变量）；

应变能

由正应力产生的弹性势能体密度为：
U 1 = ∑ i = 1 3 1 2 σ i i ε i i p U_1=\sum_{i=1}^3 \cfrac{1}{2}\sigma_{ii}\varepsilon_{ii}^p U1=i=1∑321σiiεiip
其可分解为体积改变能 U V U_V UV与畸变能 U d U_d Ud两部分， U 1 = U V + U d U_1=U_V+U_d U1=UV+Ud：
U V = 1 − 2 v 6 E ( σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 U d = 1 + v 6 E [ ( σ 11 − σ 22 ) 2 + ( σ 22 − σ 33 ) 2 + ( σ 33 − σ 11 ) 2 ] U_V=\cfrac{1-2v}{6E}(\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33})^2 \\ U_d=\cfrac{1+v}{6E}[(\sigma_{11}-\sigma_{22})^2+(\sigma_{22}-\sigma_{33})^2+(\sigma_{33}-\sigma_{11})^2] UV=6E1−2v(σ11+σ22+σ33)2Ud=6E1+v[(σ11−σ22)2+(σ22−σ33)2+(σ33−σ11)2]
由剪应力产生的弹性势能体密度为：
U 2 = σ 12 ε 12 p + σ 23 ε 23 p + σ 31 ε 31 p U_2=\sigma_{12}\varepsilon_{12}^p+\sigma_{23}\varepsilon_{23}^p+\sigma_{31}\varepsilon_{31}^p U2=σ12ε12p+σ23ε23p+σ31ε31p
综上，弹性体应变能为 W = ( U 1 + U 2 ) V W=(U_1+U_2)V W=(U1+U2)V；

胁变&胁强主轴

胁变主轴

对于一个三轴方向长为 Δ x 、 Δ y 、 Δ z \Delta x、\Delta y、\Delta z Δx、Δy、Δz的微小长方体，不考虑旋转，由胁变定义可知其在三轴方向上由胁强产生的微小形变 Δ ξ p 、 Δ η p 、 Δ ζ p \Delta\xi^p、\Delta\eta^p、\Delta\zeta^p Δξp、Δηp、Δζp有：
[ Δ ξ p Δ η p Δ ζ p ] = [ ε 11 p ε 12 p ε 13 p ε 21 p ε 22 p ε 23 p ε 31 p ε 32 p ε 33 p ] [ Δ x Δ y Δ z ] \left[\begin{array}{c} \Delta\xi^p \\ \Delta\eta^p \\ \Delta\zeta^p \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{11}^p & \varepsilon_{12}^p & \varepsilon_{13}^p \\ \varepsilon_{21}^p & \varepsilon_{22}^p & \varepsilon_{23}^p \\ \varepsilon_{31}^p & \varepsilon_{32}^p & \varepsilon_{33}^p \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{array}\right] ΔξpΔηpΔζp = ε11pε21pε31pε12pε22pε32pε13pε23pε33p ΔxΔyΔz
由于胁变张量矩阵为实对称矩阵，因此可以对角化：
[ ε 11 p ε 12 p ε 13 p ε 21 p ε 22 p ε 23 p ε 31 p ε 32 p ε 33 p ] = P Λ P T P = [ e 1 e 2 e 3 ] , Λ = [ ε 1 p 0 0 0 ε 2 p 0 0 0 ε 3 p ] \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{11}^p & \varepsilon_{12}^p & \varepsilon_{13}^p \\ \varepsilon_{21}^p & \varepsilon_{22}^p & \varepsilon_{23}^p \\ \varepsilon_{31}^p & \varepsilon_{32}^p & \varepsilon_{33}^p \end{array}\right]=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^T \\ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{c} \varepsilon_{1}^p & 0 & 0 \\ 0 & \varepsilon_{2}^p & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{3}^p \end{array}\right] ε11pε21pε31pε12pε22pε32pε13pε23pε33p =PΛPTP=[e1e2e3],Λ= ε1p000ε2p000ε3p
其中 P \boldsymbol{P} P为单位正交矩阵，三个列向量 { e 1 , e 2 , e 3 } \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} {e1,e2,e3}组成了胁变主轴的三个轴，变换到该胁变主轴后该微小体只有张变而没有切变，三个张变 ε 1 p 、 ε 2 p 、 ε 3 p \varepsilon_{1}^p、\varepsilon_{2}^p、\varepsilon_{3}^p ε1p、ε2p、ε3p称为主张变；

由于正交变换不改变矩阵的迹，因此微小体的相对体胀始终不变，与坐标轴的选取无关：
Θ p = ε 1 p + ε 2 p + ε 3 p \Theta^p=\varepsilon_{1}^p+\varepsilon_{2}^p+\varepsilon_{3}^p Θp=ε1p+ε2p+ε3p

胁强主轴

弹性体内的胁强与受力面相关，为得到任意截面的胁强我们做以下微小体并考察面 A B C ABC ABC的胁强；

微小体四个面面积分别记为： S Δ B O C = S 1 、 S Δ C O A = S 2 、 S Δ A O B = S 3 、 S Δ A B C = S S_{\Delta BOC}=S_1、S_{\Delta COA}=S_2、S_{\Delta AOB}=S_3、S_{\Delta ABC}=S SΔBOC=S1、SΔCOA=S2、SΔAOB=S3、SΔABC=S，并记面 A B C ABC ABC的法向量为 n = [ n x , n y , n z ] T \boldsymbol{n}=[n_x,n_y,n_z]^T n=[nx,ny,nz]T，记面 A B C ABC ABC与面 B O C 、 C O A 、 A O B BOC、COA、AOB BOC、COA、AOB间的二面角余弦为 α 、 β 、 γ \alpha、\beta、\gamma α、β、γ，因此有：
α = n ⋅ e x = n x , β = n y , γ = n z \alpha=\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}_x=n_x,\quad \beta=n_y,\quad \gamma=n_z α=n⋅ex=nx,β=ny,γ=nz
面积有关系：
S 1 = n x S , S 2 = n y S , S 3 = n z S S_1=n_x S,\quad S_2=n_y S,\quad S_3=n_z S S1=nxS,S2=nyS,S3=nzS
面 B O C 、 C O A 、 A O B BOC、COA、AOB BOC、COA、AOB的胁变即为坐标轴面的胁变 σ i = [ σ 1 i , σ 2 i , σ 3 i ] T \boldsymbol{\sigma}_i=[\sigma_{1i},\sigma_{2i},\sigma_{3i}]^T σi=[σ1i,σ2i,σ3i]T，并考虑微小体受到体密度 f v \boldsymbol{f}_v fv的外体积力与加速度 a \boldsymbol{a} a，由受力平衡有：
σ S − σ 1 S 1 − σ 2 S 2 − σ 3 S 3 = ( ρ a − f v ) d v \boldsymbol{\sigma}S-\boldsymbol{\sigma}_1S_1-\boldsymbol{\sigma}_2S_2-\boldsymbol{\sigma}_3S_3=(\rho\boldsymbol{a}-\boldsymbol{f}_v)\text{d}v σS−σ1S1−σ2S2−σ3S3=(ρa−fv)dv
由于趋于无穷小量时有 lim ⁡ d v S → 0 \lim\cfrac{\text{d}v}{S}\to0 limSdv→0，因此可得任意面 A B C ABC ABC上的胁强 σ = [ σ x , σ y , σ z ] T \boldsymbol{\sigma}=[\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}]^T σ=[σx,σy,σz]T有：
σ = [ σ 1 , σ 2 , σ 3 ] n = [ σ x σ y σ z ] = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] [ n x n y n z ] \boldsymbol{\sigma}=[\boldsymbol{\sigma}_1,\boldsymbol{\sigma}_2,\boldsymbol{\sigma}_3]\boldsymbol{n}= \left[\begin{array}{c} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} n_x \\ n_y \\ n_z \end{array}\right] σ=[σ1,σ2,σ3]n= σxσyσz = σ11σ21σ31σ12σ22σ32σ13σ23σ33 nxnynz
注意：该关系是在外力只有体积力的假设下成立的，当存在面力时不再成立；

同理胁强张量矩阵可以对角化：
[ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] = P Λ P T P = [ e 1 e 2 e 3 ] , Λ = [ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ] \left[\begin{array}{c} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{array}\right]=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^T \\ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}_3 \end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{c} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{array}\right] σ11σ21σ31σ12σ22σ32σ13σ23σ33 =PΛPTP=[e1e2e3],Λ= σ1000σ2000σ3
其中 P \boldsymbol{P} P为单位正交矩阵，三个列向量 { e 1 , e 2 , e 3 } \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} {e1,e2,e3}组成了胁强主轴的三个轴，变换到该主轴后该微小体只有正应力而没有剪应力，三个正应力 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 \sigma_1、\sigma_2、\sigma_3 σ1、σ2、σ3称为主正应力；可以证明胁变主轴与胁强主轴重合；

拉密方程

胁变的连续性分析

设弹性体上任意质点 r = [ x , y , z ] T \boldsymbol{r}=[x,y,z]^T r=[x,y,z]T变形位移为 s = [ ξ , η , ζ ] T \boldsymbol{s}=[\xi,\eta,\zeta]^T s=[ξ,η,ζ]T，则弹性体的变形可由函数 s ( r , t ) \boldsymbol{s}(\boldsymbol{r},t) s(r,t)描述；其中变形位移又可分为胁强与温升导致的两部分 s = s p + s T \boldsymbol{s}=\boldsymbol{s}^p+\boldsymbol{s}^T s=sp+sT；

只考虑胁强导致的胁变，并设 r 0 \boldsymbol{r}_0 r0处的形变为 s 0 p \boldsymbol{s}_0^p s0p，微小位移后 r 0 + d r \boldsymbol{r}_0+\text{d}\boldsymbol{r} r0+dr处的形变为 s 0 p + d s p \boldsymbol{s}_0^p+\text{d}\boldsymbol{s}^p s0p+dsp，将其展开为一阶Taylor有：
d s p = ( ∂ s p ∂ r ) 0 d r { d ξ p = ( ∂ ξ p ∂ x ) 0 d x + ( ∂ ξ p ∂ y ) 0 d y + ( ∂ ξ p ∂ z ) 0 d z d η p = ( ∂ η p ∂ x ) 0 d x + ( ∂ η p ∂ y ) 0 d y + ( ∂ η p ∂ z ) 0 d z d ζ p = ( ∂ ζ p ∂ x ) 0 d x + ( ∂ ζ p ∂ y ) 0 d y + ( ∂ ζ p ∂ z ) 0 d z \text{d}\boldsymbol{s}^p=\left(\cfrac{\partial \boldsymbol{s}^p}{\partial\boldsymbol{r}}\right)_0\text{d}\boldsymbol{r} \\ \left\{\begin{array}{c} \text{d}\xi^p=\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial x}\right)_0\text{d}x+\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial y}\right)_0\text{d}y+\left(\cfrac{\partial\xi^p}{\partial z}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\eta^p=\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}x+\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial y}\right)_0\text{d}y+\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial z}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\zeta^p=\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}x+\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial y}\right)_0\text{d}y+\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial z}\right)_0\text{d}z \end{array}\right. dsp=(∂r∂sp)0dr⎩ ⎨ ⎧dξp=(∂x∂ξp)0dx+(∂y∂ξp)0dy+(∂z∂ξp)0dzdηp=(∂x∂ηp)0dx+(∂y∂ηp)0dy+(∂z∂ηp)0dzdζp=(∂x∂ζp)0dx+(∂y∂ζp)0dy+(∂z∂ζp)0dz
将 d s p \text{d}\boldsymbol{s}^p dsp分解为代表张变与纯切变的对称部分 d s s p \text{d}\boldsymbol{s}^p_s dssp与代表旋转的反对称部分 d s a p \text{d}\boldsymbol{s}^p_a dsap，则有：
{ d ξ s p = ( ∂ ξ p ∂ x ) 0 d x + 1 2 ( ∂ ξ p ∂ y + ∂ η p ∂ x ) 0 d y + 1 2 ( ∂ ξ p ∂ z + ∂ ζ p ∂ x ) 0 d z d η s p = 1 2 ( ∂ η p ∂ x + ∂ ξ p ∂ y ) 0 d x + ( ∂ η p ∂ y ) 0 d y + 1 2 ( ∂ η p ∂ z + ∂ ζ p ∂ y ) 0 d z d ζ s p = 1 2 ( ∂ ζ p ∂ x + ∂ ξ p ∂ z ) 0 d x + 1 2 ( ∂ ζ p ∂ y + ∂ η p ∂ z ) 0 d y + ( ∂ ζ p ∂ z ) 0 d z { d ξ a p = 0 + 1 2 ( ∂ ξ p ∂ y − ∂ η p ∂ x ) 0 d y + 1 2 ( ∂ ξ p ∂ z − ∂ ζ p ∂ x ) 0 d z d η a p = 1 2 ( ∂ η p ∂ x − ∂ ξ p ∂ y ) 0 d x + 0 1 2 ( ∂ η p ∂ z − ∂ ζ p ∂ y ) 0 d z d ζ a p = 1 2 ( ∂ ζ p ∂ x − ∂ ξ p ∂ z ) 0 d x + 1 2 ( ∂ ζ p ∂ y − ∂ η p ∂ z ) 0 d y + 0 \left\{\begin{array}{c} \text{d}\xi^p_s= &\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial x}\right)_0\text{d}x+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \eta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}y+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial z}+\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\eta^p_s= &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \xi^p}{\partial y}\right)_0\text{d}x+ &\left(\cfrac{\partial\eta^p}{\partial y}\right)_0\text{d}y+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial z}+\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial y}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\zeta^p_s= &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \xi^p}{\partial z}\right)_0\text{d}x+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \eta^p}{\partial z}\right)_0\text{d}y+ &\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial z}\right)_0\text{d}z \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} \text{d}\xi^p_a= &0+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial y}-\cfrac{\partial \eta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}y+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \xi^p}{\partial z}-\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial x}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\eta^p_a= &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial x}-\cfrac{\partial \xi^p}{\partial y}\right)_0\text{d}x+ &0 &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \eta^p}{\partial z}-\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial y}\right)_0\text{d}z \\ \text{d}\zeta^p_a= &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial x}-\cfrac{\partial \xi^p}{\partial z}\right)_0\text{d}x+ &\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\partial \zeta^p}{\partial y}-\cfrac{\partial \eta^p}{\partial z}\right)_0\text{d}y+ &0 \end{array}\right. \\ ⎩ ⎨ ⎧dξsp=dηsp=dζsp=(∂x∂ξp)0dx+21(∂x∂ηp+∂y∂ξp)0dx+21(∂x∂ζp+∂z∂ξp)0dx+21(∂y∂ξp+∂x∂ηp)0dy+(∂y∂ηp)0dy+21(∂y∂ζp+∂z∂ηp)0dy+21(∂z∂ξp+∂x∂ζp)0dz21(∂z∂ηp+∂y∂ζp)0dz(∂z∂ζp)0dz⎩ ⎨ ⎧dξap=dηap=dζap=0+21(∂x∂ηp−∂y∂ξp)0dx+21(∂x∂ζp−∂z∂ξp)0dx+21(∂y∂ξp−∂x∂ηp)0dy+021(∂y∂ζp−∂z∂ηp)0dy+21(∂z∂ξp−∂x∂ζp)0dz21(∂z∂ηp−∂y∂ζp)0dz0
也可以简化为以下形式：
d s s p = 1 2 ( ( ∂ s p ∂ r ) + ( ∂ s p ∂ r ) T ) 0 d r d s a p = 1 2 ∇ × s p × d r \text{d}\boldsymbol{s}^p_s=\cfrac{1}{2}\left(\left(\cfrac{\partial \boldsymbol{s}^p}{\partial \boldsymbol{r}}\right)+\left(\cfrac{\partial \boldsymbol{s}^p}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^T\right)_0\text{d}\boldsymbol{r} \\ \text{d}\boldsymbol{s}^p_a=\cfrac{1}{2}\nabla\times\boldsymbol{s}^p\times\text{d}\boldsymbol{r} dssp=21 (∂r∂sp)+(∂r∂sp)T 0drdsap=21∇×sp×dr
由定义可以看出，对称矩阵的6个独立分量对应了6个胁变，反对称矩阵的3个独立变量对应了3个旋转角，这9个变量构成形变雅可比矩阵的9个独立分量：
[ d ξ s p d η s p d ζ s p ] = [ ε 11 p ε 12 p ε 13 p ε 21 p ε 22 p ε 23 p ε 31 p ε 32 p ε 33 p ] [ d x d y d z ] [ d ξ a p d η a p d ζ a p ] = [ 0 − φ 3 φ 2 φ 3 0 − φ 1 − φ 2 φ 1 0 ] [ d x d y d z ] φ = [ φ 1 , φ 2 , φ 3 ] T = 1 2 ∇ × s p \left[\begin{array}{c} \text{d}\xi^p_s \\ \text{d}\eta^p_s \\ \text{d}\zeta^p_s \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{11}^p & \varepsilon_{12}^p & \varepsilon_{13}^p \\ \varepsilon_{21}^p & \varepsilon_{22}^p & \varepsilon_{23}^p \\ \varepsilon_{31}^p & \varepsilon_{32}^p & \varepsilon_{33}^p \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c} \text{d}\xi^p_a \\ \text{d}\eta^p_a \\ \text{d}\zeta^p_a \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 0 & -\varphi_3 & \varphi_2 \\ \varphi_3 & 0 & -\varphi_1 \\ -\varphi_2 & \varphi_1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{array}\right] \\ \boldsymbol{\varphi}=[\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3]^T=\cfrac{1}{2}\nabla\times\boldsymbol{s}^p dξspdηspdζsp = ε11pε21pε31pε12pε22pε32pε13pε23pε33p dxdydz dξapdηapdζap = 0φ3−φ2−φ30φ1φ2−φ10 dxdydz φ=[φ1,φ2,φ3]T=21∇×sp
对 d s s p \text{d}\boldsymbol{s}^p_s dssp与 d s a p \text{d}\boldsymbol{s}^p_a dsap求关于微分 d r \text{d}\boldsymbol{r} dr的散度与旋度，由于对称分量 d s s p \text{d}\boldsymbol{s}^p_s dssp代表纯形变因此有源无旋，反对称分量 d s a p \text{d}\boldsymbol{s}^p_a dsap代表纯旋转因此有旋无源，有：
∇ ⋅ s s p = ∇ ⋅ s p = Θ p ∇ × s s p = 0 ∇ ⋅ s a p = 0 ∇ × s a p = ∇ × s p = 2 φ \nabla\cdot\boldsymbol{s}^p_s=\nabla\cdot \boldsymbol{s}^p=\Theta^p \\ \nabla\times\boldsymbol{s}^p_s=0 \\ \nabla\cdot\boldsymbol{s}^p_a=0 \\ \nabla\times\boldsymbol{s}^p_a=\nabla\times\boldsymbol{s}^p=2\boldsymbol{\varphi} ∇⋅ssp=∇⋅sp=Θp∇×ssp=0∇⋅sap=0∇×sap=∇×sp=2φ

相容条件

为了保证弹性体的连续性，即不发生断裂或重叠，形变函数 s ( r , t ) \boldsymbol{s}(\boldsymbol{r},t) s(r,t)必须在3维空间上保持可微；

即对任意维度的形变 s k ( k = 1 , 2 , 3 ) s_k(k=1,2,3) sk(k=1,2,3)，对任意一对空间变量 r i , r j ( i , j = 1 , 2 , 3 , i ≠ j ) r_i,r_j(i,j=1,2,3,i\ne j) ri,rj(i,j=1,2,3,i=j)，都有：
∂ 2 s k ∂ r i ∂ r j = ∂ 2 s k ∂ r j ∂ r i \cfrac{\partial^2 s_k}{\partial r_i\partial r_j}=\cfrac{\partial^2 s_k}{\partial r_j\partial r_i} ∂ri∂rj∂2sk=∂rj∂ri∂2sk
这可得到关于9个独立变量 { ε 11 p , ε 22 p , ε 33 p , ε 12 p , ε 23 p , ε 31 p , φ 1 , φ 2 , φ 3 } \{\varepsilon_{11}^p,\varepsilon_{22}^p,\varepsilon_{33}^p,\varepsilon_{12}^p,\varepsilon_{23}^p,\varepsilon_{31}^p,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\} {ε11p,ε22p,ε33p,ε12p,ε23p,ε31p,φ1,φ2,φ3}的9个方程，约去3个旋转变量，则可得到关于6个胁变的6个方程，其称为相容条件（圣维南方程）：
{ ∂ 2 ε 11 p ∂ y 2 + ∂ 2 ε 22 p ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ε 12 p ∂ x ∂ y ∂ 2 ε 22 p ∂ z 2 + ∂ 2 ε 33 p ∂ y 2 = 2 ∂ 2 ε 23 p ∂ y ∂ z ∂ 2 ε 33 p ∂ x 2 + ∂ 2 ε 11 p ∂ z 2 = 2 ∂ 2 ε 31 p ∂ z ∂ x { ∂ ∂ z ( ∂ ε 23 p ∂ x + ∂ ε 31 p ∂ y − ∂ ε 12 p ∂ z ) = ∂ 2 ε 33 p ∂ x ∂ y ∂ ∂ x ( ∂ ε 31 p ∂ y + ∂ ε 12 p ∂ z − ∂ ε 23 p ∂ x ) = ∂ 2 ε 11 p ∂ y ∂ z ∂ ∂ y ( ∂ ε 12 p ∂ z + ∂ ε 23 p ∂ x − ∂ ε 31 p ∂ y ) = ∂ 2 ε 22 p ∂ z ∂ x \left\{\begin{array}{c} \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{11}^p}{\partial y^2}+\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{22}^p}{\partial x^2}=2\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{12}^p}{\partial x\partial y} \\ \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{22}^p}{\partial z^2}+\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{33}^p}{\partial y^2}=2\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{23}^p}{\partial y\partial z} \\ \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{33}^p}{\partial x^2}+\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{11}^p}{\partial z^2}=2\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{31}^p}{\partial z\partial x} \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} \cfrac{\partial}{\partial z}\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{23}^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \varepsilon_{31}^p}{\partial y}-\cfrac{\partial \varepsilon_{12}^p}{\partial z}\right)=\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{33}^p}{\partial x\partial y} \\ \cfrac{\partial}{\partial x}\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{31}^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \varepsilon_{12}^p}{\partial z}-\cfrac{\partial \varepsilon_{23}^p}{\partial x}\right)=\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{11}^p}{\partial y\partial z} \\ \cfrac{\partial}{\partial y}\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{12}^p}{\partial z}+\cfrac{\partial \varepsilon_{23}^p}{\partial x}-\cfrac{\partial \varepsilon_{31}^p}{\partial y}\right)=\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{22}^p}{\partial z\partial x} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧∂y2∂2ε11p+∂x2∂2ε22p=2∂x∂y∂2ε12p∂z2∂2ε22p+∂y2∂2ε33p=2∂y∂z∂2ε23p∂x2∂2ε33p+∂z2∂2ε11p=2∂z∂x∂2ε31p⎩ ⎨ ⎧∂z∂(∂x∂ε23p+∂y∂ε31p−∂z∂ε12p)=∂x∂y∂2ε33p∂x∂(∂y∂ε31p+∂z∂ε12p−∂x∂ε23p)=∂y∂z∂2ε11p∂y∂(∂z∂ε12p+∂x∂ε23p−∂y∂ε31p)=∂z∂x∂2ε22p

拉密方程

静力学方程：

考虑弹性体平衡时的静力学方程，其由力矢平衡与力矩平衡两部分构成；如下图所示，考察弹性体一微小部分的静力学平衡：

力矩平衡方程即为：
σ i j = σ j i \sigma_{ij}=\sigma_{ji} σij=σji
力矢平衡方程：考察微小体所受 y O z yOz yOz平面 x x x方向的胁强总力 ( σ 11 ( x + d x ) − σ 11 ( x ) ) d y d z = ∂ σ 11 ∂ x d x d y d z \left(\sigma_{11}(x+\text{d}x)-\sigma_{11}(x)\right)\text{d}y\text{d}z=\cfrac{\partial \sigma_{11}}{\partial x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z (σ11(x+dx)−σ11(x))dydz=∂x∂σ11dxdydz，并设其受到外力只有体积力，总外力的体密度为 f v = [ f x , f y , f z ] T \boldsymbol{f}_v=[f_x,f_y,f_z]^T fv=[fx,fy,fz]T，则该微小体 x x x方向的力矢平衡方程为：
( ∂ σ 11 ∂ x + ∂ σ 12 ∂ y + ∂ σ 13 ∂ z + f x ) d v = 0 \left(\cfrac{\partial \sigma_{11}}{\partial x}+\cfrac{\partial \sigma_{12}}{\partial y}+\cfrac{\partial \sigma_{13}}{\partial z}+f_x\right)\text{d}v=0 (∂x∂σ11+∂y∂σ12+∂z∂σ13+fx)dv=0

化为关于胁强 { σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 23 , σ 31 } \{\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{12},\sigma_{23},\sigma_{31}\} {σ11,σ22,σ33,σ12,σ23,σ31}或胁变 { ε 11 p , ε 22 p , ε 33 p , ε 12 p , ε 23 p , ε 31 p } \{\varepsilon_{11}^p,\varepsilon_{22}^p,\varepsilon_{33}^p,\varepsilon_{12}^p,\varepsilon_{23}^p,\varepsilon_{31}^p\} {ε11p,ε22p,ε33p,ε12p,ε23p,ε31p}方程则有：
{ ∂ σ 11 ∂ x + ∂ σ 12 ∂ y + ∂ σ 13 ∂ z + f x = 0 ∂ σ 21 ∂ x + ∂ σ 22 ∂ y + ∂ σ 23 ∂ z + f y = 0 ∂ σ 31 ∂ x + ∂ σ 32 ∂ y + ∂ σ 33 ∂ z + f z = 0 { 2 G ( ∂ ε 11 p ∂ x + ∂ ε 12 p ∂ y + ∂ ε 13 p ∂ z ) + λ ∂ Θ p ∂ x + f x = 0 2 G ( ∂ ε 21 p ∂ x + ∂ ε 22 p ∂ y + ∂ ε 23 p ∂ z ) + λ ∂ Θ p ∂ y + f y = 0 2 G ( ∂ ε 31 p ∂ x + ∂ ε 32 p ∂ y + ∂ ε 33 p ∂ z ) + λ ∂ Θ p ∂ x + f z = 0 \left\{\begin{array}{c} \cfrac{\partial \sigma_{11}}{\partial x}+\cfrac{\partial \sigma_{12}}{\partial y}+\cfrac{\partial \sigma_{13}}{\partial z}+f_x=0 \\ \cfrac{\partial \sigma_{21}}{\partial x}+\cfrac{\partial \sigma_{22}}{\partial y}+\cfrac{\partial \sigma_{23}}{\partial z}+f_y=0 \\ \cfrac{\partial \sigma_{31}}{\partial x}+\cfrac{\partial \sigma_{32}}{\partial y}+\cfrac{\partial \sigma_{33}}{\partial z}+f_z=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c} 2G\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{11}^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \varepsilon_{12}^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \varepsilon_{13}^p}{\partial z}\right)+\lambda\cfrac{\partial \Theta^p}{\partial x}+f_x=0 \\ 2G\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{21}^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \varepsilon_{22}^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \varepsilon_{23}^p}{\partial z}\right)+\lambda\cfrac{\partial \Theta^p}{\partial y}+f_y=0 \\ 2G\left(\cfrac{\partial \varepsilon_{31}^p}{\partial x}+\cfrac{\partial \varepsilon_{32}^p}{\partial y}+\cfrac{\partial \varepsilon_{33}^p}{\partial z}\right)+\lambda\cfrac{\partial \Theta^p}{\partial x}+f_z=0 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧∂x∂σ11+∂y∂σ12+∂z∂σ13+fx=0∂x∂σ21+∂y∂σ22+∂z∂σ23+fy=0∂x∂σ31+∂y∂σ32+∂z∂σ33+fz=0⎩ ⎨ ⎧2G(∂x∂ε11p+∂y∂ε12p+∂z∂ε13p)+λ∂x∂Θp+fx=02G(∂x∂ε21p+∂y∂ε22p+∂z∂ε23p)+λ∂y∂Θp+fy=02G(∂x∂ε31p+∂y∂ε32p+∂z∂ε33p)+λ∂x∂Θp+fz=0
当选取求解变量为胁强 { σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 23 , σ 31 } \{\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{12},\sigma_{23},\sigma_{31}\} {σ11,σ22,σ33,σ12,σ23,σ31}或胁变 { ε 11 p , ε 22 p , ε 33 p , ε 12 p , ε 23 p , ε 31 p } \{\varepsilon_{11}^p,\varepsilon_{22}^p,\varepsilon_{33}^p,\varepsilon_{12}^p,\varepsilon_{23}^p,\varepsilon_{31}^p\} {ε11p,ε22p,ε33p,ε12p,ε23p,ε31p}时，由于有6个变量但只有3个方程，因此需要加上相容条件的6个方程才能解出；

而当选取求解变量为形变 { ξ p , η p , ζ p } \{\xi^p,\eta^p,\zeta^p\} {ξp,ηp,ζp}时，其本身就包含了可微条件，因此只需要静力学的3个方程而不需要考虑相容条件，这被称为拉密方程：
G ∇ 2 s p + ( G + λ ) ∇ ( ∇ ⋅ s p ) + f v = 0 G\nabla^2 \boldsymbol{s}^p+(G+\lambda)\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{s}^p\right)+\boldsymbol{f}_v=0 G∇2sp+(G+λ)∇(∇⋅sp)+fv=0
动力学方程：

当弹性体处于非平衡态时，需要考虑其加速度，设弹性体质量体密度为 ρ \rho ρ，拉密方程被修正为：
G ∇ 2 s p + ( G + λ ) ∇ ( ∇ ⋅ s p ) + f v = ρ ∂ 2 s ∂ t 2 s = s p + s T G\nabla^2 \boldsymbol{s}^p+(G+\lambda)\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{s}^p\right)+\boldsymbol{f}_v=\rho\cfrac{\partial^2 \boldsymbol{s}}{\partial t^2} \\ \boldsymbol{s}=\boldsymbol{s}^p+\boldsymbol{s}^T G∇2sp+(G+λ)∇(∇⋅sp)+fv=ρ∂t2∂2ss=sp+sT

横波与纵波

忽略温度造成的胁变，并对动力学方程取散度有： G ∇ 2 ( ∇ ⋅ s ) + ( G + λ ) ∇ 2 ( ∇ ⋅ s ) + ∇ ⋅ f v = ρ ∂ 2 ∂ t 2 ( ∇ ⋅ s ) G\nabla^2 (\nabla\cdot\boldsymbol{s})+(G+\lambda)\nabla^2\left(\nabla\cdot\boldsymbol{s}\right)+\nabla\cdot\boldsymbol{f}_v=\rho\cfrac{\partial^2 }{\partial t^2}(\nabla\cdot\boldsymbol{s}) G∇2(∇⋅s)+(G+λ)∇2(∇⋅s)+∇⋅fv=ρ∂t2∂2(∇⋅s)，由于 Θ = ∇ ⋅ s \Theta=\nabla\cdot\boldsymbol{s} Θ=∇⋅s，因此有：
ρ ∂ 2 Θ ∂ t 2 = ( 2 G + λ ) ∇ 2 Θ + ∇ ⋅ f v \rho\cfrac{\partial^2 \Theta}{\partial t^2}=(2G+\lambda)\nabla^2 \Theta+\nabla\cdot\boldsymbol{f}_v ρ∂t2∂2Θ=(2G+λ)∇2Θ+∇⋅fv
该式即为体胀系数（或质量密度）传播的波动方程，是一种纵波，波速为 u = 2 G + λ ρ u=\sqrt{\cfrac{2G+\lambda}{\rho}} u=ρ2G+λ ；

对动力学方程取旋度有： G ∇ 2 ( ∇ × s ) + ( G + λ ) ∇ × ∇ Θ + ∇ × f v = ρ ∂ 2 ∂ t 2 ( ∇ × s ) G\nabla^2 (\nabla\times\boldsymbol{s})+(G+\lambda)\nabla\times\nabla\Theta+\nabla\times\boldsymbol{f}_v=\rho\cfrac{\partial^2 }{\partial t^2}(\nabla\times\boldsymbol{s}) G∇2(∇×s)+(G+λ)∇×∇Θ+∇×fv=ρ∂t2∂2(∇×s)，由于 ∇ × ∇ Θ = 0 \nabla\times\nabla\Theta=0 ∇×∇Θ=0，且 φ = 1 2 ∇ × s \boldsymbol{\varphi}=\cfrac{1}{2}\nabla\times\boldsymbol{s} φ=21∇×s，则有：
ρ ∂ 2 φ ∂ t 2 = G ∇ 2 φ + 1 2 ∇ × f v \rho\cfrac{\partial^2 \boldsymbol{\varphi}}{\partial t^2}=G\nabla^2 \boldsymbol{\varphi}+\cfrac{1}{2}\nabla\times\boldsymbol{f}_v ρ∂t2∂2φ=G∇2φ+21∇×fv
该式即为旋转角传播的波动方程，是一种横波，波速为 u = G ρ u=\sqrt{\cfrac{G}{\rho}} u=ρG ；

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python解题工程力学_工程力学要点与解题
内容概要本书简要介绍了工程力学课程的基本概念和基本理论,指出了其重点与难点,着重阐明了工程力学分析.研究和解决问题的基本思路.方法和技巧. 本书共分17章.每章都包括基本知识点.重点与难点.典型题精 ...
吉大2020-2021学年第二学期期末考试《工程力学》大作业
2020-2021学年第二学期期末考试工程力学一计算题 (共5题 ,总分值50分 ) 试求图示各梁支座的约束反力.设力的单位为kN,力偶矩的单位为kN.m,长度的单位为m,分布载荷集度为kN/m ...

弹性力学（工程力学）

文章目录

胁变与胁强

胁变

胁强

体胀

胡克定理

胡克定理

胁变与胁强的关系

应变能

胁变&胁强主轴

胁变主轴

胁强主轴

拉密方程

胁变的连续性分析

相容条件

拉密方程

横波与纵波

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