【CF 543D】Road Improvement，树形DP

传送门
题意：
给定一棵树，起初树边都是坏边，对于以节点ii为起点，你需要把一些坏边改成好边，使得从ii出发到达其他节点的路径上至多只有一条坏边，求每个节点ii的方案数
思路：
学习了一些新姿势
~~reflash：这是很简单的树形dp思想~~
转移还是挺好想的，用f[i]f[i]表示从ii出发到达其子树的方案数，g[i]g[i]表示从i出发到达其祖先及兄弟的方案数，然后直接转移就可以了
一开始我有点zz，分状态f/g[i][0/1]f/g[i][0/1]
然后就写出来如下转移
f[i][0]=∏v是i的子节点f[v][0]f[i][0]=\prod_{v是i的子节点} f[v][0]
f[i][1]=∏v是i的子节点(f[v][1]+f[v][0]) i不是根节点f[i][1]=\prod_{v是i的子节点} (f[v][1]+f[v][0])\ \ \ \ \ \ \ i不是根节点
f[i][1]=∏v是i的子节点(f[v][1]+f[v][0])−∏v是i的子节点f[v][0] i是根节点f[i][1]=\prod_{v是i的子节点} (f[v][1]+f[v][0])-\prod_{v是i的子节点} f[v][0]\ \ \ \ \ \ \ i是根节点
后来发现f[i][0]f[i][0]不都是1吗！
g[i][0]g[i][0]同理
然后就改成了这个样子

f[i]=∏v是i的子节点(f[v]+1)

f[i]=\prod_{v是i的子节点} (f[v]+1)

g[i]=g[fa[i]]∗∏v是fa[i]的子节点且v!=if[i]

g[i]=g[fa[i]]*\prod_{v是fa[i]的子节点且v!=i}f[i]
或者是这个样子

g[i]=g[fa[i]]∗f[fa[i]]f[i]+1

g[i]=g[fa[i]]*\frac {f[fa[i]]}{f[i]+1}
在模意义当然要搞 f[i]+1f[i]+1的逆元了
欢天喜地交上去WA了……

思考了一会，发现当 f[i]+1f[i]+1正好是模数 109+710^9+7没法弄，因为没法还原出来 ∏v是fa[i]的子节点且v!=if[i]\prod_{v是fa[i]的子节点且v!=i}f[i]
那怎么办？
官方题解给出的做法好像是记录前缀积和后缀积，其实我们还有一种思路
我们可以考虑一下，对于一个节点 ii而言,如果没有子节点vv满足 f[v]+1f[v]+1是模数的情况，那么求逆元的做法是很科学的
那如果有一个 f[v]+1f[v]+1是模数呢？
我们可以特地开一个数组记录下来其他子节点的乘积，然后在对 g[i]g[i]转移时特判一下就好了
如果有两个以上呢？
实际上与只有一个的情况是一样的，因为不管怎么转移都是 00啦
复杂度O(nlogP)O(n \log P)
代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define M 200005
#define LL long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
int n,tot,cnt;
int first[M],f[M],g[M],T[M];
bool vis[M];
struct edge{int v,next;
}e[M<<1];
int in()
{int t=0;char ch=getchar();while (ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar();return t;
}
void add(int x,int y)
{e[++tot].v=y;e[tot].next=first[x];first[x]=tot;e[++tot].v=x;e[tot].next=first[y];first[y]=tot;
}
int inv(int x)
{int y=mo-2,t=1;for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mo)if (y&1) t=(LL)t*x%mo;return t;
}
void dfs(int x,int fa)
{f[x]=1;bool flag=0;for (int i=first[x];i;i=e[i].next)if (e[i].v!=fa){dfs(e[i].v,x);if (f[e[i].v]+1==mo&&!flag)vis[e[i].v]=1,flag=1;elsef[x]=1LL*f[x]*(f[e[i].v]+1)%mo;}if (flag) T[x]=f[x],f[x]=0;
}
void dfs2(int x,int fa)
{++g[x];for (int i=first[x];i;i=e[i].next)if (e[i].v!=fa){if (!vis[e[i].v])g[e[i].v]=1LL*g[x]*f[x]%mo*inv(f[e[i].v]+1)%mo;elseg[e[i].v]=1LL*g[x]*T[x]%mo;dfs2(e[i].v,x);}
}
main()
{n=in();for (int i=2;i<=n;++i) add(i,in());dfs(1,0);dfs2(1,0);  for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",1LL*g[i]*f[i]%mo);
}

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