【BZOJ2301】problem b，数论之莫比乌斯反演

Time:2016.05.27
Author:xiaoyimi
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思路：
∑di=c∑bj=a[gcd(i,j)=k]∑^{d}_{i=c}∑^{b}_{j=a}[gcd(i,j)=k]

=∑di=1∑bj=1[gcd(i,j)=k]−∑c−1i=1∑bj=1[gcd(i,j)=k]−∑di=1∑a−1j=1[gcd(i,j)=k]+∑c−1i=1∑a−1j=1[gcd(i,j)=k]=∑^{d}_{i=1}∑^{b}_{j=1}[gcd(i,j)=k]-∑^{c-1}_{i=1}∑^{b}_{j=1}[gcd(i,j)=k]-∑^{d}_{i=1}∑^{a-1}_{j=1}[gcd(i,j)=k]+∑^{c-1}_{i=1}∑^{a-1}_{j=1}[gcd(i,j)=k]

可以观察到上面这四个式子都是类似的，我们只用处理一个就好
这里选用
∑di=1∑bj=1[gcd(i,j)=k]∑^{d}_{i=1}∑^{b}_{j=1}[gcd(i,j)=k]

令i=ki,j=kji=ki,j=kj

=∑⌊dk⌋i=1∑⌊bk⌋j=1[gcd(i,j)=1]=∑^{⌊\frac d k⌋}_{i=1}∑^{⌊\frac b k⌋}_{j=1}[gcd(i,j)=1]

=∑⌊dk⌋i=1∑⌊bk⌋j=1∑p|gcd(i,j)μ(p)=∑^{⌊\frac d k⌋}_{i=1}∑^{⌊\frac b k⌋}_{j=1}∑_{p|gcd(i,j)}μ(p)

设b<=d,a<=cb

=∑⌊dk⌋i=1∑⌊bk⌋j=1∑[p|i][p|j]μ(p)=∑^{⌊\frac d k⌋}_{i=1}∑^{⌊\frac b k⌋}_{j=1}∑_{[p|i][p|j]}μ(p)

=∑⌊bk⌋p=1⌊bpk⌋⌊dpk⌋μ(p)=∑_{p=1}^{⌊\frac b k⌋}⌊\frac b {pk}⌋⌊\frac d {pk}⌋μ(p)

μ可以前缀和处理，然后⌊bpk⌋⌊dpk⌋⌊\frac b {pk}⌋⌊\frac d {pk}⌋的取值只有n√\sqrt n个，每次O(nn√)O(n\sqrt n)分块处理，总复杂度O(nn√)O(n\sqrt n)
注意：
1.实测不用开long long
2.推式子一定要细心，我刚开始就推错了好几次，尤其是分别处理4个式子，并且搞混了abcd……
3.好久不碰数论，欧拉筛都不会了……
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define M 50004
using namespace std;
int n,a,b,c,d,k;
int mu[M],prime[M];
bool vis[M];
int in()
{char ch=getchar();int t=0;while (!isdigit(ch)) ch=getchar();while (isdigit(ch)) t=(t<<3)+(t<<1)+ch-48,ch=getchar();return t;
}
int solve(int x,int y)
{if (x>y) swap(x,y);int ans=0,last;for (int i=1;i<=x;i=last+1){last=min(x/(x/i),y/(y/i));ans+=(mu[last]-mu[i-1])*(x/i)*(y/i);}return ans;
}
main()
{mu[1]=1;for (int i=2;i<=50000;i++){if (!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;for (int j=1;j<=prime[0];j++)if (prime[j]*i>50000) break;else{vis[i*prime[j]]=1;if (i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];else{mu[i*prime[j]]=0;break;}}}for (int i=2;i<=50000;i++) mu[i]+=mu[i-1];n=in();while (n--){a=in()-1;b=in();c=in()-1;d=in();k=in();a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;printf("%d\n",solve(b,d)-solve(b,c)-solve(d,a)+solve(a,c)); }
}

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