维特比算法Viterbi Algorithm

1、简介

　　维特比算法是一个特殊但应用最广的动态规划算法，它是针对篱笆网络的有向图（Lattice）的最短路径问题而提出的。凡是使用隐含马尔可夫模型描述的问题都可以用维特比算法来解码，包括今天的数字通信、语音识别、机器翻译、拼音转汉字、分词等。
2、维特比算法的基础

（1）如果概率最大的路径P（或叫最短路径）经过某个点，比如下图中的X22，那么这条路径上从起始点S到X22的这一段子路径Q，一定是S到X22之间的最短路径。否则，用S到X22的最短路径R替代Q，便构成了一条比P更短的路径，这显然是矛盾的。

（2）从S到E的路径必定经过第i时刻的某个状态，假定第i时刻有k个状态，那么如果记录了从S到第i个状态的所有k个节点的最短路径，最终的最短路径必经过其中的一条。这样，在任何时刻，只需要考虑非常有限条最短路径即可。

（3）结合上述两点，假定当我们从状态i进入状态i+1时，从S到状态i上各个节点的最短路径已经找到，并且记录在这些节点上，那么在计算从起点S到前一个状态i所有的k个结点的最短路径，以及从这k个节点到Xi+1，j的距离即可。
3、维特比算法总结

（1）从点S出发，对于第一个状态X1的各个节点，不妨假定有n1个，计算出S到它们的距离d(S,X1i)，其中X1i代表任意状态1的节点。因为只有一步，所以这些距离都是S到它们各自的最短距离。

（2）对于第二个状态X2的所有节点，要计算出从S到它们的最短距离。对于特点的节点X2i，从S到它的路径可以经过状态1的n1中任何一个节点X1i，对应的路径长度就是d(S,X2i) = d(S,X1i) + d(X1i,X2i)。由于j有n1种可能性，我们要一一计算，找出最小值。即：

d(S,X2i) = minI=1，n1 d(S,X1i) + d(X1i,X2i)

这样对于第二个状态的每个节点，需要n1次乘法计算。假定这个状态有n2个节

点，把S这些节点的距离都算一遍，就有O(n1·n2)次计算。

（3）接下来，类似地按照上述方法从第二个状态走到第三个状态，一直走到最后一个状态，就得到了整个网格从头到尾的最短路径。每一步计算的复杂度都和相邻两个状态Si和Si+1各自的节点数目ni，ni+1的乘积成正比，即O(ni·ni+1)

（4）假设这个隐含马尔可夫链中节点最多的状态有D个节点，也就是说整个网格的宽度为D，那么任何一步的复杂度不超过O(D2)，由于网格长度是N，所以整个维特比算法的复杂度是O(N·D2)。

每个时刻有K个状态，每个状态需要遍历K个数才能得到，最终有T个时刻，时间复杂度和观察值序列和状态空间有关，和观察值空间无关。

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