B树和B+树详细解析
维基百科对B树的定义为“在计算机科学中，B树（B-tree）是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O(log n)的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构。B树，概括来说是一个节点可以拥有多于2个子节点的二叉查找树。与自平衡二叉查找树不同，B-树为系统最优化大块数据的读和写操作。B-tree算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。”
定义
B 树可以看作是对2-3查找树的一种扩展，即他允许每个节点有M-1个子节点。
- 根节点至少有两个子节点
- 每个节点有M-1个key，并且以升序排列
- 位于M-1和M key的子节点的值位于M-1 和M key对应的Value之间
- 其它节点至少有M/2个子节点
下图是一个M=4 阶的B树:
可以看到B树是2-3树的一种扩展，他允许一个节点有多于2个的元素。
B树的插入及平衡化操作和2-3树很相似，这里就不介绍了。下面是往B树中依次插入
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4
的演示动画：
B+树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于：
- 有k个子结点的结点必然有k个关键码；
- 非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。
- 树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。
如下图，是一个B+树:
下图是B+树的插入动画：
B和B+树的区别在于，B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。
B+ 树的优点在于：
- 由于B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。
- B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。
但是B树也有优点，其优点在于，由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。下面是B 树和B+树的区别图：
分析
对B树和B+树的分析和对前面讲解的2-3树的分析类似，
对于一颗节点为N度为M的子树，查找和插入需要logM-1N ~ logM/2N次比较。这个很好证明，对于度为M的B树，每一个节点的子节点个数为M/2 到 M-1之间，所以树的高度在logM-1N至logM/2N之间。
这种效率是很高的，对于N=62*1000000000个节点，如果度为1024，则logM/2N <=4，即在620亿个元素中，如果这棵树的度为1024，则只需要小于4次即可定位到该节点，然后再采用二分查找即可找到要找的值。
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