一.Vondrak基本思想：

通过选择不同的而平滑因子控制数据平滑的程度，在观测数据的绝对拟合与绝对平滑之间选择一条折衷的曲线，保留有用信号，滤除噪声信号。
这种方法对于等间距的观测数据、不等间距的观测数据均适用。
Vondrak滤波的本质是通过确定合理的平滑因子

在观测数据的绝对拟合和决定平滑之间寻求一条折衷的曲线。
它在不需知道观测资料的变化规律及其拟合函数的情况下，就能够对观测资料进行有效的平滑。
Vondrak滤波的关键是选择合理的平滑因子，目前常用的方法有：频率响应法、观测误差法、平滑误差法以及交叉证认法。
前三种的应用都必须在一定的已知条件下采用，如观测序列的频率及先验标准差，而交叉证认法的主观随意性和计算量很大。

二、Vondrak平滑法的原理：

修匀数学中指出一个修匀序列满足光滑性要求，所谓光滑性要求，就是在满足

很小的情况下，所得出的修匀值位于一条光滑的曲线上。
S为平滑度，yi‘ 为修匀值，上式中z为差分阶数，n为待处理数据的个数。
但在实际处理中，一味的追求光滑性将会使得估计值偏离原始的观测值，使得处理的结果与真值的偏离程度增大。
在实际处理中，会预先采用一定的处理方法，去除粗大误差，使得观测值与真值的偏离程度很小。
考虑到整体加权及正负抵消的情况下，令

F为拟合度，yi为观测值，yi‘ 为修匀值，上式中z为差分阶数，n为观测值的个数。
同样的，当当拟合度时，说明修勾值与原观测值完全重合，此时并没有起到修匀效果。
Whittaker于1923年将2-1 、2-2 做了线性组合，发展为Whittaker修匀：

其中：pi为观测值的权序列，yi 为观测值序列，yi’ 为平滑值序列，h 是正常数。在满足上述准则下所获得的修匀值既满足位于一条光滑的曲线上，又与原观测序列具有一定的拟合度。
1967年捷克天文学家J.Vondrak将Whittaker修匀中原定一的平滑度改为以平滑之的3阶差分的平方和，发展为Whittaker-Vondrak平滑法，简称Vondrak滤波，
Vondrak平滑基本准则是：

1976年对此进行了改进，将拟合度和平滑度分别用他们的平均值来代替：

其中，pi为观测值的权序列，yi 为观测值序列，yi’ 为平滑序列，λ是正常数，

在观测数据的绝对拟合和绝对平滑之间起着平衡的作用，ε 越小，曲线的平滑程度越强。

三、Vondrak滤波平滑公式：

在满足平滑准则达到最小的情况下，利用拉格朗日多项式推到的Vondrak滤波的基本方程组为：

实际应用中，常用2-5 改进的Vondrak滤波。解方程组2-15也可获得满足准则2-5的平滑结果。

特点：
Vondrak滤波可以在未知观测资料的变化规律且未知其拟合函数的情况下，就能够对观测资料进行有效的平滑，因此在许多领域都得到了广泛的应用。

四、Vondrak滤波应用

对于某一确定平滑因子周期信号被分成了三段：通过带（F=1）、过滤带（0《 F《 1）、压制带（F《 0）。Vondrak滤波器是很好的低通滤波器,具体应用案列详见：

吴芸芸. Vondrak滤波准则及应用研究[D]. 中南大学, 2012.

五、Matlab实现

function yy = vondrak(x,y,epsilon,sigma)
% Vondrak滤波程序 n = length(x);
B = zeros(n,1); p = ones(1,n);
p = p*sigma; a = zeros(1,n+3);
b = zeros(1,n+3);
c = zeros(1,n+3);
d = zeros(1,n+3);
for i=1:n-3 a(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i)-x(i+1))*(x(i)-x(i+2))*(x(i)-x(i+3))); b(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+1)-x(i))*(x(i+1)-x(i+2))*(x(i+1)-x(i+3))); c(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+2)-x(i))*(x(i+2)-x(i+1))*(x(i+2)-x(i+3))); d(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+3)-x(i))*(x(i+3)-x(i+1))*(x(i+3)-x(i+2)));
end A = zeros(n,7);
for i = 1:n A(i,1) = a(i)*d(i); A(i,2) = a(i+1)*c(i+1)+b(i)*d(i); A(i,3) = a(i+2)*b(i+2)+b(i+1)*c(i+1)+c(i)*d(i); A(i,4) = epsilon*p(i)/(n-3)+a(i+3)^2+b(i+2)^2+c(i+1)^2+d(i)^2; A(i,5) = a(i+3)*b(i+3)+b(i+2)*c(i+2)+c(i+1)*d(i+1); A(i,6) = a(i+3)*c(i+3)+b(i+2)*d(i+2); A(i,7) = a(i+3)*d(i+3); B(i) = epsilon*p(i)/(n-3);
end
A(3,1:6) = A(3,2:7); A(3,7) = 0;
A(2,1:5) = A(2,3:7); A(2,6:7) = [0 0];
A(1,1:4) = A(1,4:7); A(1,5:7) = [0 0 0];
y = y.*B;
ls = 4;
for k = 1:n-1 max = 0; for i = k:ls t = abs(A(i,1)); if t>max max = t; is = i;   %列选主元 end end help1 = y(k); y(k) = y(is); y(is) = help1;  %常数向量交换行 help2 = A(k,:); A(k,:) = A(is,:); A(is,:)=help2;  %系数矩阵交换行 y(k) = y(k)/A(k,1);   A(k,:) = A(k,:)/A(k,1);  %系数归一化 for i = k+1:ls t = A(i,1); y(i) = y(i)-y(k)*t;  %常数向量消元 A(i,:) = A(i,:)-A(k,:)*t;  %系数矩阵消元 A(i,1:6) = A(i,2:7);  %系数矩阵左移一位 A(i,7) = 0; end if ls~=n ls = ls+1; end
end
q = A(n,1);
y(n) = y(n)/q;
ls = 2;
for i = n-1:-1:1 y(i) = y(i)-A(i,2:ls)*y(i+1:i+ls-1); if ls~=7 ls = ls+1; end
end
yy = y;

参考文献：
吴芸芸. Vondrak滤波准则及应用研究[D]. 中南大学, 2012.

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