方差分析中的“元”和“因素”是什么？

试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素，因素所处的状态称为水平 (通常用于3个或更多水平时；如果只有2个水平考虑T-test);若试验中只有一个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。

方差分析就是对试验数据进行分析，检验方差相等的多个正态总体 均值是否相等，进而判断各因素对试验指标的影响是否显著；根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。(来源于：百度百科)

方差分析中的因素

方差分析中的因素通常是人为选定或可控的影响条件，如对样品的人为处理、样品自身的标记属性等。不可控因素如病人的心情、试验操作人的心情等一般不视为因素或不作为关注的因素；(还有一些不可控因素或通常认为不会带来很多影响的因素，如不同的取样时间、不同的RNA提取时间、提取人、细胞所处的分裂周期等；在某些情况下，如果我们记录了这些因素并且关心这些因素时，也会变为方差分析中的因素)。

举个例子，比如病人服用不同浓度药物后基因表达变化试验中：

基因表达是试验指标;
药物浓度是因素，假设有3个水平低浓度、中浓度和高浓度。

这就是单因素方差分析 (one-way ANOVA)，比较病人服用不同浓度药物后基因表达的均值是否相等；

如果同时考虑病人的年龄的影响，则

年龄也是因素，有多个水平比如幼年、青年、成年、老年等。

这就是两因素方差分析 (two-way ANOVA)，比较用药浓度和年龄对基因表达变化的影响，称为“主效应”影响；有时还需要同时比较浓度+年龄组成的新变量对基因表达变化的影响，称为“交互效应”影响。(如果只是比较浓度+年龄组成的新变量对基因表达变化的影响，就又是单因素方差分析了)

如果再考虑病人的籍贯、药物种类、吃药时间、病人Marker突变等的影响，就是多因素方差分析了。

方差分析中的试验指标

试验中要考察的指标称为试验指标。在上面的例子中基因表达是一个试验指标，不过很笼统，默认为是单个基因的表达，称为一元方差分析。

那如果是关注两个基因或所有基因的表达变化整体是否有差异呢？

这就是多元方差分析，每组样本不是只包含一个试验指标而是多个试验指标。

表现在数据形式上：

(一元)方差分析是比较多组向量的均值是否存在显著差异。
多元方差分析是比较多组矩阵的均值是否存在显著差异。

因此，比较多组样本整体基因表达的差异、多组样本整体菌群构成的差异，就需要多元方差分析了。

多元方差分析

在统计学中，多元方差分析 (MANOVA, multivariate analysis of variance) 是一种对多个分组中检测了多个指标变量 (这里的变量等同于上面的指标；如每个样本中每个物种的丰度信息、每个样本中每个基因的表达信息)的样本整体均值的检验方法。作为一个多变量过程，它在有两个或多个因变量时使用，并且通常会分别涉及各个因变量的显着性检验。它有助于回答：

自变量 (因素)的变化是否对因变量 (试验指标)有显着影响？
因变量之间有什么关系？
自变量之间有什么关系？

注: 对应上面 - 所有的因素都是自变量 (independent variable)，而试验指标是因变量 (dependent variable)。这在看英文文献或不同教程时需要注意描述差异。

多元方差分析 (MANOVA, multivariate analysis of variance)的前提假设可类比于一元方差分析 (观测指标值的独立性、正态性、方差齐性)

数据独立性。
每个分组内的检测指标符合多元正态分布。
每个分组内的检测指标的协方差矩阵一致。

但在很多生物、生态和环境数据集中，多元方差分析的前提假设通常难以满足。

一些鲁棒性更强、对数据分布依赖更少的检验方法被提出来并且获得广泛应用，如ANOSIM (analysis of similarities), PERMANOVA (permutational multivariate analysis of variance) (也称为NPMANOVA, non-parametric MNOAVA), 和Mantel test。这些方法都通过一个样本间的距离矩阵或相似性矩阵构建ANOVA分析类似的统计量，然后对每组的观测结果进行随机置换来计算显著性P-value。对于单因素分析，对数据唯一的假设条件就是观察指标数据存在可置换性 (exchangeability)。

下面我们再介绍如何应用PERMANOVA来检验PcOA等的结果的显著性。

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