第一章：基本概念

给定N个整数的序列{A1，A2，...，AN}，求最大的子列和。

算法一：暴力法找出所有子列和，时间复杂度O(N^3)

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int maxnum(int A[], int n);int main() {int A[10] = { 1,2,3,4,-3,4,-9,4,7 };int n = 10;int p;p=maxnum(A, n);printf("%d", p);return 0;
}//最大子列和的暴力求解方法int maxnum(int A[], int n) {int i, j, k;int thisnum;int maxnum=0;for (i = 0;i < n;i++) {      /*i是子列的左端*/for (j = i;j < n;j++) {  /*j是子列的右端*/thisnum = 0;         /*A[i]到A[j]的子列和*/for (k = i;k <= j;k++)thisnum += A[k];if (thisnum > maxnum)maxnum = thisnum;}}return maxnum;}

算法二：暴力法基础上提升，时间复杂度O(N^2)

//此处省略的代码在上面int maxnum(int A[], int n) {int i, j, k;int thisnum;int maxnum=0;for (i = 0;i < n;i++) {      /*i是子列的左端*/thisnum = 0;for (j = i;j < n;j++) {  /*j是子列的右端*/thisnum += A[j];     /*对于相同的i，不同的j，只需要在前一次的基础上加下一个元素*/if (thisnum > maxnum) {maxnum = thisnum;}}}return maxnum;}

当出现时间复杂度为O(N^2)的时候，程序员就会思考将时间复杂度减小到O(NlogN)

算法3：分而治之，时间复杂度O(NlogN),将复杂的问题分开解决最后合并,时间复杂度的计算方法可以由递推得到

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max3(int a, int b, int c);
int maxnum(int A[], int n);
int maxfenzhi(int A[], int n);
int main() {int A[10] = { 1,2,3,4,-3,4,-9,4,7 };int n = 10;int p;p=maxfenzhi(A, n);printf("%d", p);return 0;}
int max3(int a, int b, int c) {return a > b ? a > c ? a : c : b > c ? b : c;/*这个式子是简略形式，(a > b ? (a > c ? a : c ): (b > c ? b : c))*/
}
int divideandconquer(int List[], int left, int right) {int maxleft, maxright;  /*存放左右子列的和*/int maxleftborder, maxrightborder; /*存放跨界的结果*/int leftborder, rightborder;int center, i;if (left == right) {/*递归的终止条件，此时子列只有一个数字*/if (List[left] > 0)return List[left];else return 0;}/*分而治之中的‘分’*/center = (left + right) / 2; /*找到中分点*//*递归求两边子列的最大和*/maxleft = divideandconquer(List, left, center);maxright = divideandconquer(List, center+1, right);/*下面求跨分界线的最大子列和*/maxleftborder = 0;leftborder = 0;for (i = center;i >= left;i--) {/*从中线向左侧扫描*/leftborder += List[i];if (leftborder > maxleftborder)maxleftborder = leftborder;}/*左侧扫描结束*/maxrightborder = 0;rightborder = 0;for (i = center + 1;i <=right;i++) {/*从中线向右侧扫描*/leftborder += List[i];if (leftborder > maxleftborder)maxleftborder = leftborder;}/*右侧扫描结束*//*下面是分而治之中的‘治’*/return max3(maxleft, maxright, maxleftborder + maxrightborder);
}
int maxfenzhi(int A[], int n) {return divideandconquer(A, 0, n - 1);
}

算法4：在线处理算法，时间复杂度为O(N)，比上面的都要快！想一下这也是最快的算法了，因为处理这种问题必须要全部看一遍数据，当然越快的算法有时候看起来不那么好理解。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int maxzaixian(int A[], int n);
int main() {int A[10] = { 1,2,3,4,-3,4,-9,4,7 };int n = 10;int p;p=maxzaixian(A, n);printf("%d", p);return 0;
}
int maxzaixian(int A[], int n) {int maxnum = 0;int thisnum = 0;for (int i = 0;i < n;i++){thisnum += A[i];if (thisnum > maxnum) {maxnum = thisnum;}if (thisnum < 0){thisnum = 0;}}return maxnum;
}

第一章的算法就是这样了，陆续会继续出以后的章节以及补充练习等等。

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当出现时间复杂度为O(N^2)的时候，程序员就会思考将时间复杂度减小到O(NlogN)

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算法4：在线处理算法，时间复杂度为O(N)，比上面的都要快！想一下这也是最快的算法了，因为处理这种问题必须要全部看一遍数据，当然越快的算法有时候看起来不那么好理解。

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