二分查找和二分答案(洛谷)

细节好可怕~

二分查找算法的细节剖析_JackComeOn的博客-CSDN博客原文：https://www.cnblogs.com/kyoner/p/11080078.html我周围的人几乎都认为二分查找很简单，但事实真的如此吗？二分查找真的很简单吗？并不简单。看看 Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）怎么说的：Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky…这句话可以这样理解：思路很简单https://blog.csdn.net/JackComeOn/article/details/112392981?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2~default~baidujs_title~default-5.pc_relevant_paycolumn_v3&spm=1001.2101.3001.4242.4&utm_relevant_index=8

查找

题目描述

输入 n(n≤10^6) 个不超过 10^9 的单调不减（想到二分）的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 a1,a2,…,an，然后进行m(m≤10^5) 次询问。对于每次询问，给出一个整数 q(q≤10^9)，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号(这个是重点)，如果没有找到的话输出 -1 。

输入格式

第一行 2 个整数 n 和 m，表示数字个数和询问次数。

第二行 n 个整数，表示这些待查询的数字。

第三行 m 个整数，表示询问这些数字的编号，从 1 开始编号。

输出格式

m 个整数表示答案。

输入

11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6

输出

1 2 -1

#include<iostream>
using namespace std;//查找
typedef long long ll;
ll n,m,q,a[1000005],ans;
int find(int q){//返回第一个出现的编号int l=1,r=n+1;while(l<r){int mid=(l+r)/2;if(a[mid]>=q) r=mid;else l=mid+1; }if(a[l]==q) return l;else return -1;
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=m;i++){cin>>q;cout<<find(q)<<" ";}return 0;
}

总结：（单调递增序列）

[left,right)型==》while(l<r)，由于是找第一个出现的数，则“就左输出”==>r=mid;l=mid+1

A-B数对（二分查找函数）

题目描述

给出一串数以及一个数字 C，要求计算出所有 A−B=C 的数对的个数（不同位置的数字一样的数对算不同的数对）。

输入格式

输入共两行。

第一行，两个整数 N,C。

第二行，N 个整数，作为要求处理的那串数。

输出格式

一行，表示该串数中包含的满足 A−B=C 的数对的个数。

输入

4 1
1 1 2 3

输出

说明/提示

对于 75% 的数据，1≤N≤2000。

对于 100% 的数据，1≤N≤2×10^5。

保证所有输入数据绝对值小于 2^30，且 C≥1。

upper_bound和lower_bound的区别_zifengningyu的博客-CSDN博客_upper_bound和lower_bound两个函数的用法类似，在一个左闭右开的有序区间里进行二分查找，需要查找的值由第三个参数给出。对于upper_bound来说，返回的是被查序列中第一个大于查找值的指针，也就是返回指向被查值>查找值的最小指针，lower_bound则是返回的是被查序列中第一个大于等于查找值的指针，也就是返回指向被查值>=查找值的最小指针。不过除此之外，这两个函数还分别有一个重载函数，可以...https://blog.csdn.net/zifengningyu/article/details/80159892若找不到：两个函数返回最后一个值的下一个值得地址！

#include<iostream>
using namespace std;//A-B数对
#include<algorithm>
typedef long long ll;
ll n,c,a[200005],ans;
int main()
{cin>>n>>c;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a,a+n);for(int i=0;i<n;i++) //如果第一个大于等于的地址与第一个大于的地址不等，则说明有一组答案正好相差cans+=((upper_bound(a,a+n,a[i]+c)-a)-(lower_bound(a,a+n,a[i]+c)-a));cout<<ans<<endl;return 0;
}

银行贷款（二分查找）

题目描述

当一个人从银行贷款后，在一段时间内他(她)将不得不每月偿还固定的分期付款。这个问题要求计算出贷款者向银行支付的利率。假设利率按月累计。

输入格式

三个用空格隔开的正整数。

第一个整数表示贷款的原值，第二个整数表示每月支付的分期付款金额，第三个整数表示分期付款还清贷款所需的总月数。

输出格式

一个实数，表示该贷款的月利率(用百分数表示)，四舍五入精确到 0.1%。（即保留小数点后3位）

输入

1000 100 12

输出

2.9

#include<iostream>
using namespace std;//银行贷款
double n,m,ans;
int s;//！！！s必须是int，否则一直都是0.0~~~
int main(){scanf("%lf%lf%d",&n,&m,&s);double l=0,r=100,mid,sum,v;while(r-l>=0.0001){ // 二分答案 mid=(l+r)/2;sum=0,v=1;for(int i=0;i<s;i++){v*=(1+mid);sum+=(m/v);}if(sum==n) break;else if(sum>n) l=mid;else r=mid;}printf("%.1lf",mid*100); //mid*100 --> 百分数处理 return 0;
}

总结：

当有要求保留x位小数输出答案时，二分条件：while(r-l>=0.0..01)(x+1位小数)；

r变化：r=mid；l变化：l=mid;

烦恼的高考志愿

题目描述

现有 m(m≤100000) 所学校，每所学校预计分数线是 ai(ai≤10^6)。有 n(n≤100000) 位学生，估分分别为 bi(bi≤10^6)。

根据n位学生的估分情况，分别给每位学生推荐一所学校，要求学校的预计分数线和学生的估分相差最小（可高可低，毕竟是估分嘛），这个最小值为不满意度。求所有学生不满意度和的最小值。

输入格式

第一行读入两个整数m,n。m表示学校数，n表示学生数。第二行共有m个数，表示m个学校的预计录取分数。第三行有n个数，表示n个学生的估分成绩。

输出格式

一行，为最小的不满度之和。

输入

4 3
513 598 567 689
500 600 550

输出

说明/提示

数据范围：

对于30%的数据，m，n<=1000,估分和录取线<=10000;

对于100%的数据，n,m<=100,000,录取线<=1000000。

#include<iostream>
using namespace std;//烦恼的高考志愿
#include<algorithm>
#include<cmath>
typedef long long ll;
ll n,m,ans,a[100005],b[100005];
int main()
{cin>>m>>n;for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);sort(a+1,a+m+1);for(int i=1;i<=n;i++){int l=1,r=m+1,mid;while(l<r){mid=(l+r)/2;if(b[i]>=a[mid]) l=mid+1;else r=mid;}if(b[i]<=a[1]) ans+=a[1]-b[i];else if(b[i]>=a[m]) ans+=b[i]-a[m];else ans=ans+min(abs(b[i]-a[l-1]),abs(b[i]-a[l]));}cout<<ans<<endl;return 0;
}

同第一题：左闭右开区间

一元三次方程求解

题目描述

有形如：a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a,b,c,d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 -100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值 ≥1(说明每个长度为1的区间至多有一个解，因此可以枚举区间，在每个区间中二分查找)。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 2 位。

提示：记方程 f(x)=0，若存在 2 个数 x1 和 x2，且 x1<x2，f(x1)×f(x2)<0，则在 (x1,x2) 之间一定有一个根。

输入格式

一行，4 个实数 a,b,c,d。

输出格式

一行，3 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 2 位。

输入

1 -5 -4 20

输出

-2.00 2.00 5.00

   一元三次方程:aX^3+bX^2+cX+d=0重根判别公式：A=b^2-3acB=bc-9adC=c^2-3bd当A=B=0时，X1=X2=X3= -b/3a= -c/b = -3d/c

枚举区间，二分查找

#include<iostream>
using namespace std;//一元三次方程的解
double a,b,c,d;
double f(double x){//计算函数值return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
}
int main()
{cin>>a>>b>>c>>d;int ans=0;//记录已找到的解的个数for(int i=-100;i<100;i++){//枚举每个区间double l=i,r=i+1,mid,f1,f2;//区间左闭右开防止两个根在一个区间！！！f1=f(l),f2=f(r);if(f1==0){//判断左端点（或右端点）是否是根ans++;printf("%.2f ",l);}if(f1*f2<0){//异号说明有根while(r-l>=0.001){mid=(r+l)/2;if(f(mid)*f(r)<=0) l=mid;else r=mid;}printf("%.2f ",r);//由于上面判断的是左端点，所以这里输出的是右端点，否则会重复ans++;}if(ans==3) break;}return 0;
}

枚举区间时，由于根与根之差的绝对值 ≥1(有=)，区间左闭右开，防止两个根在一个区间！！！

但其是保留小数的，所以，l ，r 满足条件后的变化直接 =mid

EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 M 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 H，并锯掉所有树比 H 高的部分（当然，树木不高于 H 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 20,15,10 和 17，Mirko 把锯片升到 15 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 15,15,10 和 15，而 Mirko 将从第 1 棵树得到 5 米，从第 4 棵树得到 2 米，共得到 7 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 H，使得他能得到的木材至少为 M 米。换句话说，如果再升高 1 米，他将得不到 M 米木材。

输入格式

第 1 行 2 个整数 N 和 M，N 表示树木的数量，M 表示需要的木材总长度。

第 2 行 N 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

1 个整数，表示锯片的最高高度。

输入 1

4 7
20 15 10 17

输出 1

输入 2

5 20
4 42 40 26 46

输出 2

说明/提示

对于 100% 的测试数据，1≤N≤10^6,1≤M≤2×10^9，树的高度 <10^9，所有树的高度总和 >M。

#include<iostream>
using namespace std;//砍树
typedef long long ll;
ll n,m,a[1000005],sum,maxn;
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&a[i]);maxn=max(a[i],maxn);}ll l=0,r=maxn,mid;while(l<=r){sum=0;mid=(l+r)/2;for(int i=0;i<n;i++)if(a[i]>mid) sum+=a[i]-mid;if(sum<m) r=mid-1;//不够，减小midelse l=mid+1; }cout<<l-1<<endl;return 0;
}

总结：

这个枚举[l,r]:左闭右闭区间，因此：while(l<=r); r=mid-1; l=mid+1;

边界的起初有点蒙，什么时候(l<=r),什么时候(l<r),什么时候(r=mid-1)，什么时候（r=mid),需要总结一下，原因可以参考下面的博客。（还是有规律的，不能生套模板）

【二分查找】详细图解_Charon_cc的博客-CSDN博客_二分查找二分查找文章目录二分查找1. 简介2. 例子3. 第一种写法（左闭右闭）3.1 正向写法（正确演示）3.2 反向写法(错误演示)4. 第二种写法（左闭右开）4.1 正向写法（正确演示）4.2 反向写法（错误演示）5. 总结写在前面：（一）二分法的思想十分容易理解，但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板，忘记模板后处理边界就一团乱（????:“我懂了”， ✋ :"你懂个????"）因为我此前也是记忆模板，所以现在想通过一边学习，一边将所学记录成博客教出去（费曼学习法），希望以后能自己推导出边界如https://blog.csdn.net/qq_45978890/article/details/116094046?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522164825864316782248591687%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=164825864316782248591687&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-116094046.142%5Ev5%5Epc_search_result_control_group,143%5Ev6%5Econtrol&utm_term=%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE&spm=1018.2226.3001.4187

木材加工

题目描述

木材厂有 n 根原木，现在想把这些木头切割成 k 段长度均为 l 的小段木头（木头有可能有剩余）。

当然，我们希望得到的小段木头越长越好，请求出 l 的最大值。

木头长度的单位是cm,原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。

例如有两根原木长度分别为 11 和 21，要求切割成等长的 6 段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为 5。

输入格式

第一行是两个正整数 n,k，分别表示原木的数量，需要得到的小段的数量。

接下来 n 行，每行一个正整数 Li，表示一根原木的长度。

输出格式

仅一行，即 l 的最大值。

如果连 1cm 长的小段都切不出来，输出 0。（也就是说，当r-l<1时，就可以退出循环输出0了）

输入

输出

说明/提示

对于 100% 的数据，有 1≤n≤10^5, 1≤k≤10^8, 1≤Li≤10^8(i∈[1,n])。

#include<iostream>
using namespace std;//木材
typedef long long ll;
ll n,k,L[100005],maxn;
int main()
{cin>>n>>k;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&L[i]);maxn=max(maxn,L[i]);}ll l=0,r=maxn,mid,sum;while (r-l>1){sum=0;mid=(l+r)/2;for(int i=0;i<n;i++)sum+=L[i]/mid;if(sum<k) r=mid;else l=mid;}cout<<l<<endl;return 0;
}

这道题隐藏着一个[l，r]的范围，所以这道题属于有范围的一类~

跳石头

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 L,N,M，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 L≥1 且 N≥M≥0。

接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di(0<Di<L)，表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入

输出

说明/提示

输入输出样例 1 说明：将与起点距离为 2和 14 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 4(从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石,或者从距离 21 的岩石跳到终点)。

对于 100%的数据,0≤M≤N≤50,000,1≤L≤1,000,000,000。

#include<iostream>
using namespace std;//跳石头
int l,n,m,a[50005],ll,rr,s,num,mid,ans;
int check(int x){               //x是目前的理想距离 s=0,num=0;                //num是计数器，记录移走的石头数目，s计数器，是指目前的石头离起点的距离for(int i=1;i<=n+1;i++){ //枚举第1到终点的n+1块石头 if(a[i]-s<x) num++; //若两块之间的距离需移走才满足当前距离xelse s=a[i];       //若距离大于期望距离了，s更新到i的距离}if(num>m) return 0;   //移走石块>m才能到期望距离return 1;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&l,&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);a[n+1]=l;//起点：0，终点：lll=0,rr=l;while(ll<=rr){mid=(ll+rr)/2;//二分枚举最大距离 if(check(mid)){ll=mid+1;//寻找右半部分，看还有没有符合条件的更大的值ans=mid;//记录答案}else rr=mid-1;//若这个值不满足，就找左部分 }cout<<ans<<endl; return 0;
}

这道题属于左闭右闭类型~

数列分段 Section II(二分答案+贪心)

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列 A1∼N，现要将其分成 M（M≤N）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 4 2 4 5 1 要分成 3 段。

将其如下分段：[4 2][4 5][1]

第一段和为 6，第 2 段和为 9，第 3 段和为 1，和最大值为 9

将其如下分段：[4][2 4][5 1]

第一段和为 4，第 2 段和为 6，第 3 段和为 6，和最大值为 6。

并且无论如何分段，最大值不会小于 6。

所以可以得到要将数列 4 2 4 5 1 要分成 3 段，每段和的最大值最小为 6。

输入格式

第 1 行包含两个正整数 N,M。

第 2 行包含 N 个空格隔开的非负整数 Ai，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

输入

5 3
4 2 4 5 1

输出

说明/提示

100% 的数据，1≤N≤10^5，M≤N，Ai<10^8，答案不超过 10^9。

#include<iostream>
using namespace std;//数段分列
typedef long long ll;
ll n,m,a[100005],l,r,mid;
bool check(ll x){int sum=0,num=0;for(int i=0;i<n;i++){if(sum+a[i]<=x) sum+=a[i];else sum=a[i],num++;}return num>=m;
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);l=max(l,a[i]);r+=a[i];}while(l<=r){mid=(l+r)/2;if(check(mid)) l=mid+1;else r=mid-1;}cout<<l<<endl;return 0;
}

这个也属于左闭右闭类型的~，check()用到了贪心思想，还有点不太会熟练应用~~~