negative binomial（Pascal） distribution —— 负二项式分布（帕斯卡分布）

2024-05-10 10:49:08

1. 定义

假设一串独立的伯努利实验（0-1，成功失败，伯努利实验），每次实验（trial）成功和失败的概率分别是 pp 和 1−p1-p。实验将会一直重复下去，直到实验失败了 rr 次。定义全部实验中成功的次数为随机变量 XX，则：

X∼NB(r;p)

X\sim \operatorname{NB}(r;p)

2. PMF（概率质量函数）

f(k;r,p)≡Pr(X=k)=(r+k−1k)pk(1−p)r

f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=\binom{r+k-1}{k}p^{k}(1-p)^{r}

最后一次显然为失败，前 r+k−1r+k-1 中发生 kk 次成功；

之所以称其为 negative binomial distribution（负二项式分布），在于：

(r+k−1k)=(r+k−1)!k!(r−1)!===(r+k−1)(r+k−2)…(r)k!(−1)k(−r)(−r−1)…(−r−k+1)k!(−1)k(−rk)

\begin{split} \binom{r+k-1}k=\frac{(r+k-1)!}{k!(r-1)!}=&\frac{(r+k-1)(r+k-2)\ldots(r)}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{(-r)(-r-1)\ldots(-r-k+1)}{k!}\\ =&(-1)^k\binom{-r}{k} \end{split}

此时不妨对其能否构成概率分布进行简单验证：

∑kPr(X=k)====(1−p)r∑k(−1)k(−rk)pk(1−p)r∑k(−rk)(−p)k(1−p)r⋅(1−p)−r1

\begin{split} \sum_k\Pr(X=k)=&(1-p)^r\sum_k(-1)^k\binom{-r}kp^k\\ =&(1-p)^r\sum_k\binom {-r}k(-p)^k\\ =&(1-p)^r\cdot \left(1-p\right)^{-r}\\ =&1 \end{split}

3. 负二项分布与泊松分布的关系

想要负二项分布中出现 λ\lambda ，不妨令 p=λλ+rp=\frac{\lambda}{\lambda + r}，当 r→∞r\to \infty：

fX(x)====(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!pk(1−p)r(k+r−1)(k+r−2)⋯(r)k!λk(λ+r)k(rλ+r)rλkk!(1(1+λr)r)λkk!e−λ

\begin{split} f_X(x)=&\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!}p^k(1-p)^r\\ =&\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r)}{k!}\frac{\lambda^k}{(\lambda+r)^k}\left(\frac{r}{\lambda+r}\right)^r\\ =&\frac{\lambda^k}{k!}\left(\frac{1}{(1+\frac{\lambda}{r})^{r}}\right)\\ =&\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{split}

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