Hi，老朋友们好久不见。频域和时域是信号永远绕不去的话题，尤其对于模拟信号来讲，他们像本体和影子一样互相依存，又互相成长。网上有很多关于时域和频域的讲解，我最近也总结了这方面一些浅显易懂的观念，希望能够和大家再次认识一下这两个相生相伴的好朋友。

一切开始之前，想和大家讲个故事，以下纯属笔者的臆想，如有错误，还请指出。频域大家都知道是什么，横轴是hz，纵轴是增益，但是他是怎么来的呢？我们为什么老是用相位来衡量一个系统是否是稳定的呢？假设给你一套BUCK的片外RC参数，除了频域分析之外还有什么办法告诉你是稳定还是不稳定呢？笔者在学习的时候，经常有各种类似的问题，但是课本都没有告诉我这些来龙去脉，课本只告诉我只要你达到90度，你就是稳定的系统啦！

后来我想了一下，我的一切问题的起源，可能还得从反馈说起，反馈在古老的历史长河中就久远存在，原始人类知道天冷就要穿衣服，野兽来了就要点火驱赶，因为他们知道不这么做就会失去生命，这就是现实给与他们的反馈。等到反馈(闭环系统)这个词发明之后，信息社会的飞速发展，时域和频域都已经独立发展起来了，但是没有合适的解释去串联这两个完全不同的东西。历史的使命交到了傅里叶的手中，傅里叶用傅里叶级数和傅里叶变换去将时域和频域互相联系起来(转换)。人们发现在时域中不能理解的东西放到频域中可以很方便的去理解，比如“稳定”这个概念，稳定二字本身就透露着反馈和稳定这双重概念，开环系统是没有稳定这个概念的。以上就是我对稳定系统的历史理解，时频两域是系统的不同维度，他们在各自的维度上的特征都能在另一个维度上找到对应的镜像点。

想象一个婴儿在走阶梯，每一个阶梯的高度是20cm，第一步步子小了，摔了一下，第二步大脑就反馈这个信息告诉他，小东西步子大一点，否则又要摔了。如果这个婴儿的大脑系统的增益不够，那么第二步迈了40cm，侥幸迈过去了，以后这个婴儿就按照40cm每个步伐往上走。如果这个婴儿的大脑系统完全不稳定，那么这个婴儿就会一次迈10cm，第二次就迈40cm，就按照这个节奏，走一步摔一步的往前行进。如果这个婴儿的相位裕度不完全没有，还有几度，就会走一步摔一步，但是最终步伐会调节到20cm左右。如果这个婴儿的响应速度不够快，那么照样要多摔几次才能学会走路。我们使用频域这个概念就很容易去让大家理解怎样才能设计一个优秀的稳定的系统，这种维度的理解时域给不了我们。

和大家扯了这么多感性的东西，最终我们还是得回归到理性上来。时域和频域到底是怎么对应的呢？从我们上大学学到的第一个东西，开环RC滤波器讲起。

时域：

假设一个周期性的方波Vi(t)，再经过一个RC滤波器后，他的输出为Vo(t)。好的，朋友们，第一个问题来了，我们为什么要选一个周期性的方波？而不是一个正弦波作为一个Vi(t)?

很明显，一个正弦波给不了我们太多信息，但是一个方波，可以告诉我们这个转换函数也就是RC滤波器的τ，同样能告诉我们这个系统的极点位置，也能告诉我们大概在哪个频率处的相移是多少。方波转换后的波形可以告诉我们更多信息，所以我们选择周期性的方波作为输入信号。周期性在实际操作的时候不一定是需要的，但是我们为了方便下面的傅里叶级数展开，选择了周期性。非周期的信号需要的是傅里叶转换，和傅里叶级数展开有区别。

时域的方波是怎么组成的？

翻开奥本海姆，时域的方波是由无穷多个基波和谐波组成。

废话不多说，matlab走一波。

y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;

plot(t,y);

这一段是matlab的教程里面的代码，很简洁明了，当我们把更多的谐波叠加

上来，我们可以看一下渐进变化的波形如下所示。

    好了，既然Vi(t)有了，我们设置一个z=1-exp(-t/0.5)的转换函数

(τ=RC=0.5)，我们来看一下经过转换函数后的Vo(t)是啥样。

    大家可以很明显看到，每一个谐波都被z函数转换后，整体的曲线渐渐往

1-exp(-t/τ)变化。

    最后，我们来看一下在三维下，这些波形是怎么样的？

为什么有三维？这个问题就是时频两域的核心问题，关于这个问题，可以

去知乎专栏：与时间无关的故事，文章：傅里叶分析之掐死教程。没有比这篇

更好的文章去诠释时频两域了。我这边就直接贴上原图，希望大家去学习。

横轴代表时间，纵轴代表大小，第三维度代表频率，而向下的第四维度，代表

着相位(图上未画出)。多么简洁明了，又富含信息量的一张图，清晰地揭示

了时频两域的关系，各种拗口晦涩的时频参数跃然纸上，简直就是完美！

    回到我们的方波，单个方波的三维图如下所示，那层层叠峦的就是美丽的

包络。

而经过我们的RC摧残过后的，他的波形是什么样子呢？

    总结一下，我们今天主要讲的就是时频两域中的时域。时频两域就像是一

场举行中的盛大音乐会，作为看客来讲，优美的音乐总是伴随着时间的流逝，

作为那些演奏中的琴师来讲，他们眼中只有弦的舞动。

    所以，

    在一往无前的时间长河里，

    你我皆看客。

参考文献：

1.从正弦波转换为方波 - MATLAB & Simulink Example - MathWorks 中国

2.奥本海姆，《信号与系统》

3.韩 昊，知乎：Heinrich，专栏与时间无关的故事，《傅里叶分析之掐死教程》

感谢大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师