Sparse Principal Component Analysis
目录
- 背景:
- 部分符号
- 创新点
- 文章梗概
- The LASSO AND THE ELASTIC NET
- 将PCA改造为回归问题
- 定理二 单个向量(无需进行SVD版本)
- 定理三 多个向量(无需进行SVD, 非LASSO,非elastic net)
- 目标函数(最终版)
- 算法一
- 方差计算
- 复杂度
- \(p \gg n\) 算法改进
- 数值实验(pitprops)
背景:
sparse PCA 较 PCA来说更具可解释性,泛化性。
部分符号
\(\mathrm{X} \in \mathbb{R}^{n \times p}\)
假设样本已经中心化(每一个行为一个样本)
\(\mathrm{X}=[X_1,X_2,\ldots, X_p]\)
\(X_j = (x_{1j}, x_{2j},\ldots, x_{nj})\)
\(\mathrm{X = UDV^{T}}\)
\(\mathrm{Z=UD}\)为主成分(PCs)
创新点
1.将PCA问题转化为一个回归问题,利用最小角回归,可以高效求解Lasso问题。
2.二重迭代求解,sparse PCA问题。
文章梗概
The LASSO AND THE ELASTIC NET
普通的Lasso
\(Y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)^{\mathrm{T}}\)
这个方法的问题在于,当\(p \gg n\)的时候,\(\hat{\beta}\)最多有n个非零项(这是为什么呢?)
The elastic net
将PCA改造为回归问题
定理一 考虑单个向量(需要先进行SVD)
定理二 单个向量(无需进行SVD版本)
定理三 多个向量(无需进行SVD, 非LASSO,非elastic net)
目标函数(最终版)
俩步求解
定理四 A given B的理论支撑(存疑)
算法一
方差计算
因为稀疏化后的向量,既不具有空间上(往往)的正交性,也不具有概率上(\(\mathrm{x^{T}Cy}=0\))的正交性。这里,Zou 考虑的是概率上的正交性,将得到的向量正交化,把余量相加得最后的方差。
复杂度
\(n > p\) : \(np^2+mO(p^3)\) #m是迭代次数
\(p \gg n\) 算法改进
简单来说,就是把step2改进下,原来需要求解一个elastic net问题,现在直接进行截断,自然会减轻不少负担。
数值实验(pitprops)
转载于:https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/10527979.html
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