A Concise and Provably Informative Multi-Scale Signature Based on Heat Diffusion

这篇文章有很多理论基础我没有看懂, 感兴趣的同学请参考HSU02这本书

1) 先说figure 1, 曲线图是描述不同时间段, scaled HKS的值, 最开始1,2,3,4这四点相同, 因为这时还没有扩散, 到最后1,2 变成一类, 3,4 变成一类, 这是因为,1,2扩散到了头, 而3,4,扩散到了尾, 而头和尾有很大区别, 所以出现情况描述的情况

2) 第3页 Thus both operators share the same eigenfunctions and if λλ\lambda is an eigenvalue of HtHtH_t corresponding to the same egenfunction.
证明:

假设ΔMf=λfΔMf=λf\Delta _M f = \lambda f
则 Htf=e−tΔMfHtf=e−tΔMfH_t f = e^{-t\Delta _M}f
注意离散的情况下ΔMΔM\Delta_M是个矩阵
根据MIT linear algebra 第23讲 34:30
讲e−tΔMfe−tΔMfe^{-t\Delta _M}f展开即可得

3) The minimum function … and ∫mδx(z)dz=1∫mδx(z)dz=1\int _m\delta_x(z)dz = 1
这段话主要讲heat kernel kt(x,y)kt(x,y)k_t(x,y)表示为在t时间内, 当在x处的初始热量为单位1时, 从x流向y的热量为多少. 然后呢kt(x,⋅)kt(x,⋅)k_t(x,\cdot)表示在t时间内, 当在x处的初始热量为单位1时, 从x处流向其他地方的总热量. 等价于在x点的脉冲函数施加heat operator Ht(δx)Ht(δx)H_t(\delta _x), 这样说吧, heat operatorHtHtH_t是整体的热量流动的情况, 而heat kernel就是两点间 kt(x,y)kt(x,y)k_t(x,y),或者一点到其他地方kt(x,⋅)kt(x,⋅)k_t(x,\cdot)的热量流动的情况.

4) 后面的Intrinsic, informative, multi-scale, stable这几个性质没怎么细看, 说下图2,主要解释它的multi-scale property. 对于不同区域大小, 点x的热量流通量不一样

5) 第3部分主要讲HKS. heat kernel 有时间和空间上的变化, 除去空间上的变化, 剩下时间的变化就是HKS. 然后后面阐述它的informative, 和curvature, diffusion distance, GPS的关系. 我没具体看. 这里只说明下图3, 主要说明它跟curvature的关系, curvature越大, 流通越慢.

the function kt(x,x)kt(x,x)k_t(x, x) can be interpreted as the intrinsic
curvature at x at scale t.

6) 第4部分阐述的是离散的情况, 后面是它一些性质的说明, 图4主要说明, 即使Mesh对称, 但是特征函数的值并不一定对称.

7) 第5部分主要讲,不同scale的匹配.注意公式6, 除分母归一化, 然后再将时间t log化, 原因上面有讲, 然后图5的作用跟图1的作用大同小异

8) 图6, 是讲在时间段[t1,t2][t1,t2][t_1,t_2]点x与其他点的HKS的差异, 注意红色差异最小, 蓝色差异最大, 当t2t2t_2这种差异越明显, 可以从后脚看出,

9) 图7, 是为了说明small scale的时候考虑的是局部,所以上排匹配点会多些, 而当large scale的时候, 考虑的范围会大一些,所以匹配点要少些.

10)图8, 是为了说明HKS signature 的优点, the HKS signature is defined canonically, and allows to compare points across several shapes. 就是说他可以跨模型匹配,左图是一半的时间匹配的情况, 所以小规模匹配的点数会多点, 右边是全部时间t的匹配的情况, 匹配点少些.

11) 图9, 用HKS找突出点, 然后再用MDS把它们之间的距离用二维的形式表现出来, 当时间段小时, 手和脚暂时还分不开, 图9b, 时间段大时就可以分开了,图9c.

怎么找?
As noted earlier, HKS can also be used to identify and
differentiate between salient features on the shape. To find
the feature points, we use the local maxima of the function
kt(x,x)kt(x,x)k_t(x, x) for a large t. These local maxima seem to capture the
extremities of long protrusions on the surface, which allows
us to find, for example, the hands and feet on the human
model. We declare point x as a feature if kt(x,x)>kt(xi,xi)kt(x,x)>kt(xi,xi)k_t(x, x) > k_t(x_i , x_i)
for all xixix_i
in the two ring neighborhood of x. Figure 9(a)
shows the features picked on the

12) 图10, 跟图8功能差不多, 进一步说明了, 他可以用在更多的模型上, 而且可以很好的分辨出来.

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