凸优化第八章几何问题作业题

2024-06-09 16:42:05

极值体积椭圆

Let $P\subset R^n$ be a polyhedron described by a set of linear inequalities, and a a point in $R^n$ . Which of the following problems are easy to solve? Check all that apply. (Easy means the solution can be found by solving one or a modest number of convex optimization problems.)

1和2显然是凸问题，对于选项3和4显然约束函数是凸函数，所以问题是不是凸问题取决于目标函数是否是凸函数，选项3，目标是

$maximize \, \, \begin{Vmatrix}x-a \end{Vmatrix}_2=(x-a)^T(x-a)=x^Tx-2a^Tx-a^Ta$

目标函数是凸函数，但凸最大化问题非常困难，将其转化为最小化问题，即等价于

$minimize \, \, -(x^Tx-2a^Tx-a^Ta)$

显然原目标函数是凸函数，现目标函数是凹函数，转化成最小化问题为最小化问题，不是凸优化问题。

选项4的目标函数：

$maximize \, \, \begin{Vmatrix}x-a \end{Vmatrix}_\infty=max\left \{ |x_i-a_i| \right \},i=1,\cdots m$

等价于

$minimize \, \, -\begin{Vmatrix}x-a \end{Vmatrix}_\infty=-max \, \, \left \{ |x_i-a_i| \right \},i=1,\cdots m=max\, \, \left \{ -|x_i-a_i| \right \},i=1,\cdots m$

目标函数是凸函数，故是凸优化问题。

中心

You can find the Chebyshev center of a polyhedron using linear programming.

The analytic center of a set is a unique point.

分类

You are given a binary classification task in $R^2$ , where class members, denoted by × and ◯, are arranged as presented in the figure below.

These classes are linearly separable in $R^2$ .

These classes are linearly separable.

The linear, maximal margin classifier of two sets of linearly discriminable points is unique.

来源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/87884030

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