2011年10月末，由江苏省中小学教学研究室主办的“2011年初中数学实验教学专题研讨会”在江苏省连云港市东港中学举行，来自全省的50多位老师参加了专题研讨，近200多位教师现场观摩了两节初中数学实验教学研究课，反响很热烈.

笔者作为省数学实验课题组的成员，承担了开设数学实验教学研究课的任务.下面将与同仁交流研讨课“数格点算面积”的设计思路和过程，以期得到同仁对数学实验教学的建议.

一、课题内容的选择

9月中旬接到任务：要求以七年级或八年级的学生为对象，运用“几何画板”组织和实施实验教学，实验教学可以是教学中的某几个片断，也可以是整节课.

浏览了七、八年级的数学教材，研究了七、八年级学生已具备的知识和经验后，决定将“皮克定理的探究”过程作为素材来设计实验教学.

鉴于“皮克定理的探究”即为格点多边形的面积S与落在边上的格点数L、落在内部的格点数N之间的数量关系，需要学生经历画图、填表、分析数据、探求规律的过程，其中还需纵向、同向比较所列式子的各部分的异同，才能总结出规律，还得验证此规律，所以最终决定让八年级的学生参与探究.

小学阶段，学生已能用“割”和“补”的方法求格点多边形的格点面积，而本节课的多边形面积的正确数值对后面规律的猜想又至关重要.如果探究过程中学生再用割补的方法去求面积，显然会严重耽误学生探究和猜想的时间，然而求面积并不是本节课的重点内容，此时“几何画板”的自动度量面积的功能恰好能弥补这一遗憾，而且“几何画板”的作图、修改和呈现远比在纸上操作要便捷得多，这正是选择“几何画板”作为学生探究工具的原因.

上课地点选择在计算机教室，一方面是三人一个学习小组，全班所需的计算机的数量较多；另一方面，计算机的网络广播功能——可随时将电脑的画面切换到某一台电脑的画面，更便于师与生、生与生之间的交流和展示.

二、教学流程设计

由于需要作知识和思想方法上的铺垫，所以除了学生探究所用的GSP文件之外，还做了大屏幕展示所用的PPT文件.

1.预备知识

在PPT文件中，通过动画的形式，直观简洁地介绍了本节课所需的概念：格点多边形、格点多边形的面积、格点多边形边上的格点及其数目L、格点多边形内部的格点及其数目N.

设计意图：为本节课的探究作知识层面上的铺垫.

2.问题情境

在PPT中呈现以下问题：

设计意图：让学生进一步熟悉本节课需关注的三个量S、L、N，并暗示多边形的面积S与边上格点数L、内部的格点数N有关.且这两个图形的面积如用割补的方法短时间是无法得到结果的，稍停片刻后教师提出：本节课我们将共同探究，将得到一个简单可行的公式，只要数一数，口算便可得到结果.这样的说法可谓吊足了学生的胃口，激发探究的渴望.

3.背景介绍

在PPT中呈现三段文字和一幅皮克的照片：

(1)皮克，1859-1943年，奥地利数学家(如右图2).

(2)1889年发现了S、L、N三者数量关系的“皮克公式”，并进行了证明，得到“皮克定理”.

(3)“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个数学定理”之一.

设计意图：让学生明白本节课所要探究内容的数学史实和价值，在经历中重温数学家的发现之路(注：笔者也不知道当年的皮克先生是怎样发现皮克定理的，姑且就认为是这样的吧)，培养学生分析问题、解决问题的能力，这也是本节实验课的主线.

4.活动任务

在PPT中呈现一个格点多边形(如图3).

设格点多边形的面积为S，它的边上的格点数为L，内部的格点数为N.探究S与L、N之间的数量关系.

设计意图：让学生明确探究的对象和任务.

5.探究模拟

师生共同探究了当N=0时的格点多边形中S与L之间的数量关系.

在PPT中模拟“几何画板”的操作环境，依次作出了图4中的几个图形，算出面积S，数出格点数L，将图形和数据分别画在和填入《数学实验报告单》对应处，其中填入数据的表格如下所示.

设计意图：由于探究过程中涉及三个变量S、L、N而显得复杂，教师如果不作出探究的示范或模拟，学生是无法进行实验探究的.故此环节尤为重要，为下面学生的自主探究在思想方法上作了铺垫和导引.对于图4⑤，旨在说明有时作出的图形(与图4④比较)尽管不同，但是从图形中得到的数据却是相同的，这样的图形取其中的一个即可.

6.实验探究

学生三人一组，在自己电脑的GSP文件中进行实验探究，并及时填写《数学实验报告单》.

教师巡视，并适时地加入某个小组进行交流和导引.

设计意图：由于前面已经做足了知识层面和思想方法层面的铺垫，使得学生的自主实验更具指向性和探究性.此环节为本节课的重点，教师当放手处且放手，让学生或自主或合作地经历作图、填表、分析、猜想和归纳的过程，不同的学生必然会有不同的收获，这也是数学实验教学所追求的目标.在不受教师“干扰”的环境中，学生仁者见仁、智者见智，自主愉悦地进行实验探究，数学实验教学的味儿显得更浓些.

7.归纳猜想

让学生分组交流和展示实验探究的结果，并对各个结果再作整体的归纳和猜想，进而得到最终结果.

在小组的交流展示中，电脑画面随时切换到发言小组的电脑上，和所有同学交流和分享探索的过程.

各小组同学可根据展示小组的图形和结果，对自己小组的图形和结果进行质疑、比较和完善.

设计意图：从局部的归纳和猜想到整体的归纳猜想，是思维层次的提升和飞跃.小组交流展示的不仅仅是实验探究的结果，展示的是各小组的思维过程和成功的体验、喜悦和自信.

8.验证猜想

设计意图：让学生明白从特殊情况得到的结论，是否具有一般性？知道怎样去验证？此处让学生任意作出一个格点多边形，分别度量出S、数出N与L，带入公式加以验证.每个小组验证所用的多边形不同，如果验证的结果正确，说明此时的结论更具一般性.这样可以培养学生思维的严谨性，提升处理解决问题的能力.

9.解决问题

让学生运用探究所得到的公式解决课前的情境问题.

设计意图：让学生初步体会到学以致用的价值，增强成功体验.由于一节课的时间有限，取消了在此处再设置两道应用皮克公式解决问题的设想.

10.拓展研究

(1)如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，如图5，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？

(2)如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1(如图6)，那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？

设计意图：让学生带着问题走出课堂，能尝试运用本节课解决问题的思想方法去解决类似的问题，进一步提升处理问题和解决问题的能力.如果有时间，笔者先提出第一个拓展研究问题由来的想法，提供给学生一个怎样去拓展变化问题的思路和方法，再让学生尝试提出自己的拓展性研究问题，如有提出第二个的则是“英雄所见略同”，如有提出其他的，师生共同探讨其研究的价值.

11.活动小结

三言两语，提炼经历中的感受和解决问题的思想方法.