化学反应动力学-常见微分方程模型的大一统形式

之前写过的两篇文章，《马尔萨斯人口模型》和《生态学经典模型》在这篇文章中将以更加简洁，统一的形式呈现。
《马尔萨斯人口模型》
《生态学境经典模型》

Chemical Reaction Kinetics

化学反应动力学

回顾一下化学反应过程：

反应物

生成物

kkk 叫做速率常数
这样一个化学反应的流程可以构造出一个一阶微分方程模型：
dAdt=+∑n=1N(creationRate)n−∑n=1N(consumptionRate)n\frac{dA}{dt}=+\sum_{n=1}^N(creationRate)_n-\sum_{n=1}^N(consumptionRate)_ndtdA=+n=1∑N(creationRate)n−n=1∑N(consumptionRate)n

设想一个可进可出的系统里面，如果我们想要描述系统里面物质AAA的变化，那么上述公式就表示了系统里面的物质含量等于物质进入的量减去物质出去的量，这个含量可以是质量，也可以是浓度，如果是浓度的话需要考虑容器溶质的体积：

简单说，就是：Input−OutputInput - OutputInput−Output
这个思路十分重要，往后的许多模型都可以用这样的形式建立。

回想一下马尔萨斯人口模型：

dpdt=(b−d)p\frac{dp}{dt}=(b-d)pdtdp=(b−d)p

这个b−db-db−d其实就是 kkk，改写一下公式：

dpdt=bp−dp\frac{dp}{dt}=bp-dpdtdp=bp−dp

这个就反应了一个群体人口的数量变化过程，即出生（进入这个系统）减去死亡（离开这个系统）

生态学中的物种捕食和竞争模型的建立也是如此。

具体模型分类

Constant Supply 速率为常数

类型一：Supply 只进不出

source

dAdt=k\frac{dA}{dt}=kdtdA=k

类型二：Decay 只出不进

waste

dAdt=−kA\frac{dA}{dt}=-kAdtdA=−kA

类型三：Transform 物质转换

dAdt=−kA\frac{dA}{dt}=-kA dtdA=−kA
dBdt=+kA\frac{dB}{dt}=+kAdtdB=+kA

类型四：Reversible Transform 可逆反应

dAdt=−k1A+k2B\frac{dA}{dt}=-k_1A+k_2BdtdA=−k1A+k2B
dBdt=k1A−k2B\frac{dB}{dt}=k_1A-k_2BdtdB=k1A−k2B

类型五：Compoud formation 化合反应

A+B

dAdt=−kAB\frac{dA}{dt}=-kABdtdA=−kAB
dBdt=−kAB\frac{dB}{dt}=-kABdtdB=−kAB
dCdt=kAB\frac{dC}{dt}=kABdtdC=kAB

类型五：Multiple Product 多种物质

nA+mB

pC+qD

这个方程就很复杂了，我们需要回顾到最基本的建模Input−OutputInput- OutputInput−Output 思想:

Reaction Rate = -Rate of consuming one unit of reactant + Rate of creating one unit of product

Rate=1pdCdt=1qdDdt=−1ndAdt=−1mdBdt=kAnBmRate= \frac{1}{p}\frac{dC}{dt}=\frac{1}{q}\frac{dD}{dt}=-\frac{1}{n}\frac{dA}{dt}=-\frac{1}{m}\frac{dB}{dt}=kA^nB^mRate=p1dtdC=q1dtdD=−n1dtdA=−m1dtdB=kAnBm
Reactants:Reactants:Reactants: 反应物
dAdt=−nkAnBm\frac{dA}{dt}=-nkA^nB^mdtdA=−nkAnBm
dBdt=−mkAnBm\frac{dB}{dt}=-mkA^nB^mdtdB=−mkAnBm

Products:Products:Products: 生成物
dCdt=pkAnBm\frac{dC}{dt}=pkA^nB^mdtdC=pkAnBm
dDdt=qkAnBm\frac{dD}{dt}=qkA^nB^mdtdD=qkAnBm

最后一个多物质的反应可以说是涵盖非常广的，当建立微分方程系统模型时，通过写出系统的化学反应式就可以让数学建模过程十分清晰了。