百钱百鸡问题

问题描述

中国古代数学家张丘在他的《算经》中提出了一个著名的"百钱百鸡问题"：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱，现在要用百钱买百鸡，请问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

问题分析

分别假设公鸡、母鸡、小鸡的数量为cock、hen、chicken，初始值为0，如果100钱全部买成公鸡，最多20只，全部买成母鸡最多33只，全部买成小鸡最多300只，由此确定三个变量的取值范围。可以采用三层for循环实现，当满足cock+hen+chicken=100且花费的钱正好100时满足要求。（注意：C语言中两个整数相除得到的结果仍为整数，“/”两边有一个数为float型得到的结果即为float型）

代码

#include <stdio.h>
int main(){int cock,hen,chicken;for(cock=0;cock<=20;cock++)  //外层循环控制公鸡数量取值范围0-20for(hen=0;hen<=33;hen++) //内层循环控制母鸡的数量取值范围0-33 for(chicken=0;chicken<=100;chicken++){ // 内层循环控制小鸡数量取值范围0-100 if((cock+hen+chicken == 100) && (5*cock + 3*hen + chicken/3.0==100))printf("cock=%d,hen=%d,chicken=%d\n",cock,hen,chicken);}
}

输出示例

代码分析

上述算法需要穷举21*34*101=72114次，效率太低。对于这类求解不定方程的问题，各层循环的控制变量直接与方程的未知数相关，且采用对未知数的取值范围穷举和组合的方法可以得到全部的解。对于本题，当公鸡的数量确定后，小鸡的数量就固定为100-cock-chicken，无须再进行穷举了，此时约束条件只有一个：5*cock+3*hen+chicken/3.0=100，这样我们利用两重循环即可实现。

改进后的代码如下：

#include <stdio.h>
int main() {int cock,hen,chicken;for(cock=0; cock<=20; cock++) //外层循环控制公鸡数量取值范围0-20for(hen=0; hen<=33; hen++) { //内层循环控制母鸡的数量取值范围0-33chicken=100-cock-hen;if(5*cock + 3*hen + chicken/3.0==100)//验证解的合理性printf("cock=%d,hen=%d,chicken=%d\n",cock,hen,chicken);}
}

改进后的代码只需要尝试21*34=714次，进一步提高了算法的效率。

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