用容斥原理计算具有有限重数的多重集合的 r-组合（附代码）
有限重数的多重集合
定义：多重集合的元素的重数如果是有限个，那么就称它为有限重数的多重集合
M = { k 1 ⋅ a 1 , k 2 ⋅ a 2 , … , k n ⋅ a n } M = \{k_1\cdot a_1, k_2\cdot a_2, \ldots, k_n\cdot a_n\} M={k1⋅a1,k2⋅a2,…,kn⋅an}
当系数全为无穷时，计算它的 r r r-组合数可以用公式
( n + r − 1 r ) \binom{n+r-1}{r} (rn+r−1)
计算。
但是如果重数有限的话，没有现成的公式，但可以使用容斥原理计算。
容斥原理方法
简要思想：对于多重集合 M M M，设集合 A i = { r A_i=\{r Ai={r组合中元素 a i a_i ai的个数 ≥ k i + 1 } , i = 1 , 2 , … , n \geq k_i+1\},i=1,2,\ldots,n ≥ki+1},i=1,2,…,n，那么满足条件的 r − r- r−组合数一共有
∣ A 1 c ∩ A 2 c ∩ … ∩ A n c ∣ | A_1^c \cap A_2^c \cap \ldots \cap A_n^c| ∣A1c∩A2c∩…∩Anc∣
用容斥原理可以计算出来。
Python程序实现
# -*- coding: utf-8 -*-def fact(m):'''阶乘'''if m == 0:return 1else:Times = 1for i in range(1, m+1):Times = Times * ireturn Timesdef binom(m, n):'''m取n的组合数'''if n > m:return 0elif n <= m:return fact(m) // (fact(m-n) * fact(n))def mutipl_binom(ele_num, prpo_num, r):'''获得系数为无穷的有限k不同元素多重集的r组合数'''if prpo_num > r:return 0else:return binom(r-prpo_num + ele_num-1, r-prpo_num)def true_to_run(lst, R):'''判断多重集元素总数是否大于r-组合数'''if '-' in lst or sum(lst) >= R:return Trueelse:return Falsedef get_properties_num(lst, R):'''获得对立事件的性质的数量属性'''new_lst = [0]*len(lst)for i in range(len(lst)):if lst[i] == '-':new_lst[i] = R + 1else:new_lst[i] = lst[i] + 1return new_lstdef get_binary_dic(Length):'''获得到整数n的全部二进制数'''Total = 2**Lengthbinary_dic = {x:[] for x in range(1, Length+1)}num_leq_total_lst = [bin(k)[2:] for k in range(Total)]for i in range(1, Length+1):for item in num_leq_total_lst:if item.count('1') == i:binary_dic[i].append(item)return binary_dicdef sum_kth_subset_elem(lst, k, R):'''用含有k个1的二进制数计算性质子集的元素的个数之和'''sum_elem = 0binary_lst = [s for s in get_binary_dic(len(lst))[k]]temp_1_lst = [0]*len(binary_lst)for i in range(len(binary_lst)):num_item_lst = binary_lst[i]for j in range(len(num_item_lst)):if num_item_lst[j] == '1':temp_1_lst[i] += lst[len(lst)-len(num_item_lst)+j]temp_binom_lst = [mutipl_binom(len(lst), g, R) for g in temp_1_lst]sum_elem = sum(temp_binom_lst)return sum_elemdef get_son_set_elem_sum(lst, R):'''计算全部性质集合的各种交集的元素个数，当作容斥原理的各项值'''n = len(lst)elem_sum = [0]*nfor j in range(n):if j == 0:elem_sum[j] = sum([mutipl_binom(n, lst[z], R) for z in range(n)])elif j == n-1:elem_sum[j] = mutipl_binom(n, sum(lst), R)else:elem_sum[j] = sum_kth_subset_elem(lst, j+1, R)return elem_sumif __name__ == "__main__":input_data = input("请输入多重集合系数，r组合数：")Coffe_set_lst = input_data.split()R_coffe = int(Coffe_set_lst[-1])Coffe_set_lst.pop()Length_set = len(Coffe_set_lst)for i in range(Length_set):if Coffe_set_lst[i].isdigit():Coffe_set_lst[i] = int(Coffe_set_lst[i])else:continueif not true_to_run(Coffe_set_lst, R_coffe):print("没有这样的组合")else:prop_lst = get_properties_num(Coffe_set_lst, R_coffe)elem_sum = get_son_set_elem_sum(prop_lst, R_coffe)finaly_data = binom(Length_set + R_coffe -1, R_coffe)for i in range(len(elem_sum)):finaly_data += elem_sum[i]*((-1)**(i+1))print("不同的{}组合方法有{}种".format(R_coffe, finaly_data))
__________________________________________________________________________
>>>请输入多重集合系数，r组合数：- 4 5 6 10
不同的10组合方法有175种
>>>请输入多重集合系数，r组合数：4 3 4 6 12
不同的12组合方法有50种
>>>请输入多重集合系数，r组合数：3 4 5 10
不同的10组合方法有6种
写的很有c代码的风格。不过python实现算法（验证）还是比较方便的。
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