BUPT离散下期末复习

关系Relation
半群、群
高级计数法
图
树

关系Relation

关系的表示
关系的性质
关系的组合
闭包
等价关系、等价类
偏序关系

n元素集合有2n22^{n^2}2n2个关系
定理：

A是B的子集，则A上的关系是B上的关系的子集
两个集合的交的关系等同于两个集合关系的交
两个集合的并的关系等同于两个集合关系的并

关系的表示

关系有三种表示方法：

集合表示法
图
矩阵表示法

使用集合表示
略
使用矩阵进行表示
称之为关系矩阵或者邻接矩阵
更多有关矩阵表示详见后面的描述
使用图进行表示
最为直观的表示方式
使用顶点代表元素，使用有向线段代表元素之间的关系

关系的性质

自反、反自反、非自反非反自反，既自反又反自反
对称、反对称、非对称非反对称，既对称又反对称
传递、非传递

自反

自反：如果集合A中有元素a，那么必定存在(a, a)的关系，称之为自反
矩阵表示：该矩阵的主对角线全1
图表示：所有顶点都有一条指向自身的线
反自反：关系中不存在形如(a, a)的项
矩阵表示：该矩阵的主对角线全0
图表示：所有顶点都没有指向自己的线
非自反非反自反：介于以上两者之间
含有形如(a, a)的关系，但是不是全部
矩阵表示：主对角线一部分为1
图表示：有一部分顶点没有指向自己的线
既自反又反自反：集合为空集

对称

对称：若存在(a, b)，必定存在(b, a)
矩阵表示：矩阵是对称矩阵
图表示：若有a->b的线段，必定也存在b->a的线段
反对称：若存在(a, b)，仅仅当a=b的时候才存在(b, a)
矩阵表示：矩阵完全不对称
图表示：若有a->b的线段，必定不存在b->a的线段，除非a、b是同一个点
非对称非反对称：介于以上两者之间，一部分的(a, b)有对应的(b, a)，另外一部分没有
矩阵表示：矩阵不完全对称
图表示：一部分a->b的线段存在对应的b->a的线段
既对称又反对称：关系中只存在(a, a)这种项
矩阵表示：除了对角线，全为0
图表示：顶点要么自环，要么没有连线

传递

传递：若存在a->b、b->c，则必定存在a->c
矩阵表示：存在a->b、b->c、c->a的通路
图表示：任意一个点a沿着一条路径a->b->…->c走到终点c，必定有另一条路径a->c直接将a、c相连
非传递
不满足以上条件，则是非传递的关系

题型

n个元素的集合有2n(n−1)2^{n(n-1)}2n(n−1)个自反的关系

关系的组合

因为关系是笛卡尔积的子集，因此任何适用于集合的运算均适用于关系
且关系有自己特定的计算：

关系的合成
关系的幂

另外，关系的交运算，使用关系矩阵的或运算完成
关系的并运算，使用关系矩阵的与运算完成

合成

存在A到B的关系，也存在B到C的关系，将其合成，即找到A->C之间的通路
例如存在关系(a, b)，(b, c)，则通路就是a->b->c，此时新关系为(a, c)

矩阵表示：关系的合成使用关系矩阵的异或运算完成

幂

关系的幂，即同一个关系的合成
n次幂，就是n个同一个关系的合成

闭包

其他的闭包都不会考，因为太简单了，有手就性，所以这里只说传递闭包的做法

算法1
沃舍尔算法

算法1

课本上就是写算法1，所以就不命名了

首先说做法，再说原理

做法
假设矩阵是n阶的，求矩阵的1阶、2阶、3阶、……、n阶幂，然后求这些阶的矩阵的幂的交

看中文版教材第504页的例子就懂了

原理
连通性关系：R∗=∪n=1∞RnR*=\cup_{n=1}^{\infty} R^nR∗=∪n=1∞Rn
传递闭包等同于连通性关系

沃舍尔算法

关键是计算WiW_iWi
W0W_0W0就是关系矩阵
WiW_iWi就是检索第iii列，看第jjj行对应的地方是否为1，是则将jjj行对应第iii行不是1的地方补1

例如，

求W1W_1W1，先遍历第1列，发现第2行是1，说明第2个元素到第1个元素之间有连接，而第1个元素有到第4个元素的连接，根据传递性，2->1，1->4，则应当存在2->4，因此第二行第4列改为1，同理，继续计算，得

算到WnW_nWn就是传递闭包

等价

等价关系：自反+对称+传递
证明等价关系，只需要证明自反+ 对称+传递即可
等价类
R是等价关系，与a有关系的所有元素的集合称之为关于a的等价类，等价类中的元素称之为代表元。
定理：若R是定义在集合S上的等价关系，则R的等价类构成了S的划分。

偏序

偏序关系：自反+反对称+传递（等价：自反+对称+传递）
用于证明一个关系是偏序关系。
记作：(S,R)(S, R)(S,R)，S为集合，R为关系
可比性
若偏序集中的两个元素具有偏序关系，称之为可比，否则称之为不可比
全序集
偏序集中的每个元素都可比，称之为全序集
良序集
对于全序集S，每个非空集合都有最小元素，称之为良序集
使用数学归纳法进行归纳

哈塞图

哈塞图是省略了自反和传递关系的描述偏序关系的图（箭头也省略了）

覆盖关系若两个具有偏序关系的元素之间没有夹着其他元素，称其为覆盖关系
极大元、极小元：即不小于/大于任何其他的元素，即哈塞图中的顶部和底部
最大元、最小元：即大于/小于其他任何元素，只要存在即唯一
上界、下界：对于S的子集A，存在u，大于/小于任何a，则u为A的上界/下界
最大下界、最小上界：字面意思

格

格：每一对元素，都有最小上界和最大下界，称之为格
格满足等幂、交换、结合、吸收

拓扑排序

在偏序集上定义全序
每一次都选择一个极小元，去掉它，然后重复

引理：有穷非空偏序集至少有一个极小元

半群、群

高级计数法

图

树