一个n边正三角形内有几个正三角形(面试题复盘)

题目：一个n边正三角形内有几个正三角形

一、分析题目

这题首先的思想是递归。
对于递归的推演参考下图

一个n边正三角形内有几个正三角形的个数y=y_n-1+delta(n)
d e l t a ( n ) = ∑ i = 1 n d e l t a ( n i ) delta(n) = \sum_{i=1}^n{delta(n_i)} delta(n)=i=1∑ndelta(ni)
所以求解delta(n)是关键

从中可以看出显然 △(delta(n_i)) 与边长数i 有关。且有两部分组成，图中所示的上底和下底

这个计算有点类似图像池化的步长， i为正三角形的边长，1为步长
△ d o w n = n − ( i − 1 ) △_{down} = n - (i-1) △down=n−(i−1)
n-i 是确定上底的位置
△ u p = n − i − ( i − 1 ) ( i f △ u p > = 0 ; 0 ) △_{up} = n-i- (i-1) (if △_{up}>=0 ;0) △up=n−i−(i−1)(if△up>=0;0)
△ = △ u p + △ d o w n △ = △_{up} + △_{down} △=△up+△down

基于上述我们可以写出delta(n_i)的python小片段


def delta_n_i(n, i):down_ = n -(i-1) up_ = n - i -(i-1) if n - i -(i-1)>=0 else 0 delta_n_i_value = down_  + up_ return delta_n_i_value for i in range(1, 6):print(f'边长为{i}时在边长为5的正三角形中需要增加',delta_n_i(5, i))"""
边长为1时在边长为5的正三角形中需要增加 9
边长为2时在边长为5的正三角形中需要增加 6
边长为3时在边长为5的正三角形中需要增加 3
边长为4时在边长为5的正三角形中需要增加 2
边长为5时在边长为5的正三角形中需要增加 1
"""

二、解题

def n_triangle(n):"""param n: 大正三角形的边长"""if n==0:return 0add_ = 0for i in range(n, 0, -1):add_ += delta_n_i(n , i)return add_ + n_triangle(n-1)# 两个合并起来就是
def n_triangle_(n):"""param n: 大正三角形的边长"""if n==0:return 0add_ = 0for i in range(n, 0, -1):down_ = n -(i-1) up_ = n - i -(i-1) if n - i -(i-1)>=0 else 0 add_ = down_  + up_ return add_ + n_triangle(n-1)for i in range(1, 7):print(f'{i}边正三角形中有{n_triangle(i)}个小的正三角形')"""
1边正三角形中有1个小的正三角形
2边正三角形中有5个小的正三角形
3边正三角形中有13个小的正三角形
4边正三角形中有27个小的正三角形
5边正三角形中有48个小的正三角形
6边正三角形中有78个小的正三角形
"""

反思，这种题型，画图的时候一定要大张的纸，一点点好好数。用递归能比较方便的解决一些问题

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