用的幂级数展开式编拟高考题

此文发表于《数学通讯》2012年第2期

近年来，在全国各地高考试题或模拟试题中，活跃着一类与的幂级数展开式有关的不等式，这类试题因构思奇妙，结构独特，综合性强，技巧性高等特点常被命题者作为各类试卷的压轴题.本文将通过对的幂级数展开式进行一些演绎拓展，探究用的幂级数展开式编拟高考题的一般规律.

高等数学中，的幂级数展开式特别优美

上式也叫的麦克劳林(Maclaurin)泰勒展开式，从此式出发，可以演绎出一些十分重要的不等式.

当时，有

(1)

即 (2)

将(2)式右半部分中的用替换又可得：

(3)

综合(2)(3)，便得

(4)

注意上述(1)~(4)式均是在时成立.

事实上，(1)式可以加强为如下两个不等式

(5)

和 (6)

(4)式可以加强为

(7)

(5)，(6)，(7)式中的等号当且仅当时成立.

证明：这里仅证不等式(5).构造函数,则.

当时，，时，， 故当时 ，，

即当时，，亦即，(当且仅当时等号成立).

(6)，(7)式同理可证,限于篇幅,在此从略.

(5)，(6)两式的几何解释如图1所示，(7)式的几何解释如图2所示.

图1 图2

我们通过对不等式(4)，(5)，(6)，(7)进行变形,赋值，替换，放缩，累加，累乘等变换方法,可以衍生出来一大批高考题或模拟题.

当时，由(5)式知

从而，得

据此，可编拟

题1(2010年全国大纲卷Ⅱ理22题(Ⅰ))

设函数，证明：当时，.

由(5)式，知，从而，借助重要不等式

可得

故

据此，可编拟

题2(2007年辽宁卷22(Ⅲ))已知函数.

证明：.

由(5)式恒成立，即函数的最小值为1.

令，由(5)式可得，

，即.分别取，累加得

据此，可编拟

题3(2008年广州一模20题，2008年北京西城二模20题(Ⅰ)(Ⅲ))

已知函数.

(1)求的最小值;

(2)设，证明：.

由不等式(7)知，这表明函数恒成立(当且仅当时等号成立).据此，可编拟

题4(2004年全国卷Ⅲ，22(1))已知函数，求函数的最大值.

在(4)式中，令，得，即.

据此，可编拟

题5(2009年山东济南调研考题)求证对任意正整数，不等式都成立.

由不等式(7)，则,

令，则(等号当且仅当时取得).

据此，可编拟

题6(2009年汕头一模21(2))设函数，求在定义域上的最小值.

当时，由不等式(7)，得，从而.

若记，则上式即为，假若对恒成立，则当时，

，从而

.

据此，可编拟

题7(2006年全国卷Ⅱ第20题)设函数

，若对所有的

都有

成立，求实数

的取值范围.

在不等式(4)中，令

得

分别取

累加，得

.

据此，可编拟

题8(2008年佛山理一模20)数列

满足

.

(1)求数列

的通项公式;

(2)设数列

的前

项之和为

，证明

.

注：在本题中，由已知，可求得(1)中

在不等式(7)中，令

得

，从而

，

分别取

累加得

=

.

据此，可编拟

题9(2008年广州执信中学，中山纪念中学，深圳外语学校三校期末联考题20(Ⅲ)，2008年江苏苏，锡，常，镇一模压轴题(3))

若

，求证：

.

在不等式(7)中，作替换用

替换

，可得

，

分别令

累加，得

即

.

据此，可编拟

题10(《中学数学教学参考》2009年第1-2期第59页，“2009年我的优质训练题”)

(1)已知

，求证

.

(2)已知

，求证

.

注：本题(2)中的左边不等式

，即2010年东莞市一模20题(3),若将(2)中的

用

替换，所得的不等式

即为2010年广州二模压轴题(2)中的所要证明的不等式.

在不等式(7)的右半部分的不等式

中，用

替换

，可得

(8)

当且仅当

时取等号.

两边同除以

，得

.

分别令

累乘，得

据此，可编拟

题11(2009年江苏苏，锡，常，镇一模压轴题(3))

求证

由(8)式，一方面，当

时，

恒成立，此表明函数

的最大值为0.

另一方面，设

，则由(8)式可得

，

,

累加，求和得

，

若给定

，

则有

，即

.

据此，可编拟

题12(2011年湖北卷理第21题)

(Ⅰ)已知函数

，求函数

的最大值.

(Ⅱ)设

均为正数，证明

若

，则

.

在不等式(7)中，用

替换

，得

(9)

当且仅当

时，等号成立.

对不等式(9)中，每边先乘以

得

再分别加上

，得

(10)

令

.

一方面，由(10)式知

(等号当且仅当

时取得).

若

，则有

，

若

，则有

.

注意到

时，

.

故可得

.

另一方面，由(8)式

，即

的最大值为

.

若假定

恒成立，则可得

.

由

得

注意到

，故可知，若

恒成立，则

.

据此，可编拟

题13(2010年全国Ⅰ卷理20题)已知函数

(Ⅰ)若

，求

的取值范围.

(Ⅱ)证明

.

在 (4) 式中，令

，得

若构造数列{an}，使

，

易证

，从而

两边取自然对数，有

分别取

，累加得

即

∴

据此，可编拟

已知数列{an}，

，且

(1)求证：当

时，

(2)

此外，2010全国卷新课标理21，2005年重庆卷理22题，2004年山东卷理22题，2008年湖南卷理21题，2008年全国Ⅰ卷理22题等，均有本文不等式(5)，(6)，(7)的背景.

G

波利亚说得好：“好问题同某些蘑菇有些相似，它们大都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能就有几个”，从本文例子可以看出，但凡含有自然对数符号“

”或自然对数的底数“

”的不等式，几乎都与不等式(5)，(6)，(7)有着的密不可分的“血缘”关系，换言之，这些不等式可看成是由(5)，(6)，(7)“繁殖”出来的“蘑菇群”，类似地，它们还可以衍生出很多新的不等式，

我们期待通过(5)，(6)，(7)能“繁殖”出更多，更大的“蘑菇群”.