SAR系列文章目录

本文是SAR内容的延伸部分，这部分内容不是针对SAR处理手段，而是针对星载SAR回波信号的建模过程。在复杂卫星运动环境中，卫星运动模型的精准建立对于准确仿真星载SAR回波信号十分重要。

系列文章目录

前言

一、卫星轨迹推导

1.1 椭圆定律

1.2 面积定律

二、代码实现

2.1 代码实现流程

2.2 仿真结果

总结

前言

卫星的运动规律主要依赖于开普勒三大定律：

椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上；
面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等；
调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道半长轴的立方成比例；

开普勒三大定律描述的是绕太阳运动的轨道特性，但对于卫星绕地球的运动规律同样适用（卫星质量远小于地球质量）。

一、卫星轨迹推导

1.1 椭圆定律

根据椭圆定律，卫星绕地球的轨道为椭圆，地球为椭圆轨道的一个焦点，由椭圆的定义,任意时刻 $t_{i}$ 有：

$r_{i}+r_{i}^{'}=2a$

根据余弦定律有：

$r_{i}^{'}=\sqrt{r_{i}^{2}+4c^{2}+4r_{i}c\cos \theta_{i} }$

由此得到椭圆轨道半径 $r_{i}$ 与夹角 $\theta_{i}$ 之间的关系：

$r_{i}+\sqrt{r_{i}^{2}+4c^{2}+4r_{i}c\cos \theta_{i} }=2a$

通过移项平方处理，可化简为：

$r_{i}=\frac{b^{2}}{a+c\cos \theta_{i} }\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$

其中

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

当已知近地点处卫星的速度 $v_{1}$ 以及对应的距离 $R_{1}$ ，则由角动量守恒以及能量守恒可以计算出远地点卫星的速度 $v_{2}$ 以及对应的距离 $R_{2}$ ：

$\left\{\begin{matrix} mv_{1}R_{1}=mv_{2}R_{2}\\ -\frac{GMm}{R_{1}}+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=-\frac{GMm}{R_{2}}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2} \end{matrix}\right.$

由此，可以得到：

$a=\frac{R_{1}+R_{2}}{2}$

$c=\frac{R_{2}-R_{1}}{2}$

这样一来，当确定了时刻 $t_{i}$ 夹角为 $\theta_{i}$ ，则由公式（1）即可确定此时卫星到地心的距离 $r_{i}$ 。

1.2 面积定律

单位时间扫过的面积为：

$S=\frac{\pi ab}{T}$

其中周期T可以由调和定律得到：

$\frac{a^{3}}{T^{2}}=\frac{GM}{4\pi ^{2}}$

令

$d\theta =\theta _{i+1}-\theta _{i}$ , $dt=t_{i+1}-t_{i}$

单位时间扫过的面积：

$S=\frac{r_{i} r_{i} d\theta }{2dt}=\frac{\pi a b}{T}$

由此可以由 $t_{i}$ 时刻的 $r_{i}$ ， $\theta _{i}$ 可以获得下一时刻的 $\theta _{i+1}$ ：

$\theta _{i+1}=\theta _{i}+\frac{2\pi ab }{Tr_{i}^{2}} dt\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

二、代码实现

2.1 代码实现流程

卫星轨迹的更新可由公式（1）（2）进行，步骤如下：

初始化数据

假设卫星从近地点开始飞行，且近地点远地点连线与x轴夹角为 $\theta _{s}$ ，则 $t_{0}$ 时刻距离、夹角分别为：

$r_{0}=R_{1}$ $\theta _{0}=\theta _{s}$

更新夹角 $\theta _{i+1}$

对于 $i=0,1,2,\cdots$ ，首先根据 $\theta _{i}$ 和 $r_{i}$ 更新夹角 $\theta _{i+1}$ ：

$\theta _{i+1}=\theta _{i}+\frac{2\pi ab }{Tr_{i}^{2}} dt$

更新距离 $r_{i+1}$

之后根据更新后的夹角 $\theta _{i+1}$ 跟新距离 $r_{i+1}$ ：

$r_{i+1}=\frac{b^{2}}{a+c\cos \left ( \theta_{i+1} -\theta_{0} \right )}$

循环迭代

将更新后的距离 $r_{i+1}$ 与夹角 $\theta _{i+1}$ 进行新一轮的更新，直至更新完整个时间段的位置信息。

2.2 仿真结果

最后结果如下：

代码见：卫星椭圆轨道二维动态分析图

总结

这篇文章主要计算出卫星的运行轨迹，运行轨迹只在二维平面展示，为了更真实展示实际的卫星轨迹，下次将出一期含轨道根数卫星运行轨迹的三维动态分析。

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1.2 面积定律

二、代码实现

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2.2 仿真结果

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