可汗学院公开课：统计学笔记——中心极限定理、置信区间

2024-04-10 20:54:02

中心极限定理（central limit theorem）：无论离散还是连续

样本均值的抽样分布：随着样本增多，样本均值的频率图会越来越接近正态分布，标准差也越来越小。原本的总体可以是任意分布，抽样分布的均值与原本总体的均值相差不大，且标准差更小。

偏度：左尾较长-负偏态，右尾较长-正偏态

峰度：峰度为正-尾部较肥峰值会尖，峰度为负-尾部较小峰值平滑

均值：样本均值的抽样分布均值 $\mu _{\bar{x}}=\mu$ ：真正的总体均值，真正的随机变量均值

方差：原分布的方差 $\sigma ^{2}$ ，样本数目n，则抽样分布的方差 $\sigma _{\bar{x}}^{2}=\frac{\sigma ^{2}}{n}$ (估计值，当n 很大时，估计值才会很好)

标准差：样本均值抽样分布的标准差被称作均值标准差或者均值标准误差， $\sigma _{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \frac{S}{\sqrt{n}}$ ,而最好的总体标准差估计是样本标准差（区别样本标准差和抽样分布标准差）

伯努利分布：

二项分布的最简单情况，只有两种结果0-1。

假设成功的概率是p，失败的概率是1-p

均值： $\mu =0\cdot \left ( 1-p \right )+1\cdot p=p$

方差： $\sigma ^{2}=\left ( 1-p \right )\left ( 0-p \right )^{2}+p\cdot \left ( 1-p \right )^{2}=p-p^{2}=p\left ( 1-p \right )$

标准差： $\sigma =\sqrt{p\left ( 1-p\right )}$

置信区间：

$p\left ( \bar{x} \right is\, within \, 2\sigma _{\bar{x}} \, of \, \mu _{\bar{x}})=95.4\%$

$p\left ( \mu _{\bar{x}}\, is\,within\, 2\sigma _{\bar{x}}\, of\, \bar{x} \right )=95.4\%$

例： $p\left ( p\, is\,within\, 0.43\pm 0.1\right )\approx 95\%$ 表示43%的人支持B，57%的人支持A，误差范围是10%，95%的置信区间

之所以称之置信区间而非概率区间，是因为其中的标准差是我们的估计值。

置信区间在z表格中找到对应的z分数，从而找到误差范围。

t分布：当n较小时，样本抽样分布就不是正态分布， $\sigma _{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ 也就不能很好的估计标准差，而t分布就是为了小样本容量时置信区间的更好估计所设计的，所以在根据置信区间查误差范围时，查询的是t表格而不是z表格。它的分布图像与正态相似，不过有更肥的尾部。

t表格：自由度代表n-1

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