背景简述

Gale-Shapley 算法是针对稳定匹配问题提出的一种经典算法。
背景资料：考虑n对男女的配对，其中每个男生有一个心仪女生排序，而每个女生也有一个心仪男生排序。每个男生、女生都想匹配到自己最心仪的异性，但现实情况中上总会有一个男生（或女生）至少是两个女生的共同的最心仪对象。那么就需要找到一种折中的匹配方式，使得配对后的每对伴侣都不会再因追求更好伴侣，而产生配对破裂，即一种稳定的匹配。

稳定匹配的内涵

即每对配对成功的情侣，总是存在这种情况：
以情侣中的男性 X 举例，假如他的配偶不是他最心仪的异性 A，A 的当前配偶是Y，Y 在 A 心目中排序要比 X 高。那么 A 就不会舍弃当前配偶 Y，而去与 X 进行配对。假设 X 的当前配偶为 B ，同样的，所有在 X 的心目中比 B排名靠前的异性，都是这种情况，那么 B就是 X所能配到的稳定配偶；类似的，B 的稳定配偶也是 X。则这一对配对就是稳定的。

Gale-Shapley 算法的伪码表示

Initialize each person to be free.

while (some man is free and hasn’t proposed to every woman)
{
Choose such a man m
w = 1st woman on m’s list to whom m has not yet proposed
if (w is free)
assign m and w to be engaged
else if (w prefers m to her fiancé m’)
assign m and w to be engaged, and m’ to be free
else
w rejects m
}

Gale-Shapley 算法的C++实现

实现思路

设置一个男生求婚函数，每次求婚时调用此函数，对其心仪女生进行降序求婚，直至该男生求婚成功；
设置一个女生判断函数，判断此次是否接受该男生的求婚，值得注意一点是，当女生抛弃当前对象而接受目前求婚对象时，函数应将该被抛弃的男生号码以某种形式传出；

设定一个男生待匹配队列 unpaired_man[n];
最开始将所有男生都装入此队列；
每次将队列头部的男生取出，调用求婚函数进行求婚，而被求婚女生则调用判断函数，当发生女生需要抛弃当前对象时，函数应接受到被抛弃男生的号码，将其配偶情况及配对情况进行重置，并压入队列尾部。
循环操作，直至男生待匹配队列为空，则匹配完成。

代码段

#include "stdafx.h"
#include <queue>
#include <iostream>
#include <Windows.h>
using namespace std;class man
{int m[5];int m_ID;bool is_married ;int proposal_count;int married_ID ;friend class woman;friend void GS_Matching(man* _M, woman *_WM);//进行GS算法配对friend void func(man *_m); //输出每个男生的配对信息public:void propose(woman &_wm, man *_M);  //男生的求婚函数，每次对一个女生求婚man(int *_m, int _m_ID)  // 构造函数对男生进行初始化{for(int i=0; i<5; i++){ m[i]=*_m; _m++;}m_ID = _m_ID;is_married = 0;proposal_count = 0;married_ID = 0;}man(){}void printInfo(man _M)//输出每个男生的心仪女生信息{cout<<"这是第"<<_M.m_ID<<"个男生"<<endl;cout<<"他的排序是"<<_M.m[0]<<" "<<_M.m[1]<<" "<<_M.m[2]<<" "<<_M.m[3]<<" "<<_M.m[4]<<" "<<endl;}
};class woman
{int wm[5];int w_ID;bool is_married;int current_manID;int unlucky_m; friend class man;friend void GS_Matching(man* _M, woman *_WM);//进行GS算法配对friend void func(woman *_wm);  //输出女生的配对信息public:woman(int *_wm, int _wm_ID){for(int i=0;i<5;i++) { wm[i]= *_wm; _wm++;}w_ID = _wm_ID;is_married = 0;current_manID=999;  //初始化女生的默认配偶号码；unlucky_m = 999;    //初始化即将被女生抛弃的男生号码；}void printInfo(woman _WM)//输出每个女生的心仪男生信息{cout<<"这是第"<<_WM.w_ID<<"个女生"<<endl;cout<<"她的排序是"<<_WM.wm[0]<<" "<<_WM.wm[1]<<" "<<_WM.wm[2]<<" "<<_WM.wm[3]<<" "<<_WM.wm[4]<<" "<<endl;}void judge(woman &_wm, man &_m, man *_M); //女生对当前求婚男性的判断int is_prefer(man _m, man _current);    //女生判断当前求婚对象是否优于目前配偶
};void man::propose(woman &_wm, man* _M)   //男生的求婚函数，每次对一个女生求婚
{_wm.judge(_wm,(*this),_M);(*this).proposal_count++;
}void woman::judge(woman &_wm,man &_m, man *_M)  //女生对当前求婚男性的判断
{if(_wm.is_married == 0) {_wm.is_married = 1;                          //cout<<_wm.is_married<<"***"<<endl;   //_m.is_married = 1;cout<<"patched"<<endl;   //将男女的结婚状态置为1_wm.current_manID = _m.m_ID;                                // cout<<_m.m_ID<<endl;                     //将女生的当前配偶号码置为男生号码；_m.married_ID = _wm.w_ID;                                  //cout<<_m.married_ID<<endl;                    //将男生的配偶号码置为女生；_m.is_married = 1;} else if(is_prefer(_m,_M[_wm.current_manID-1]))   //女生的当前配偶优于此次求婚男生  {cout<<"please find next"<<endl;    //女生的当前配偶优于此次求婚男生}else {cout<<"Let's be together"<<endl;_m.is_married =1;                                    //将男生的结婚状态置为1_m.married_ID =_wm.w_ID;                         //将男生的配偶号码置为女生；_wm.unlucky_m = _wm.current_manID;              //将待甩掉的号码置为当前配偶号码  //cout<<"当前拟甩掉的配偶号码是："<<_wm.unlucky_m<<endl;_M[_wm.current_manID-1].is_married =0;           //将女生的当前配偶的结婚状态置为0；_M[_wm.current_manID-1].married_ID =0;           //将女生的当前配偶的配偶号码置为0；_wm.current_manID = _m.m_ID;                     //将女生的配偶号码置为此次求婚的男生号码；  //cout<<"新的伴侣号码是："<<_wm.current_manID<<endl;}
}int woman::is_prefer(man _m, man _current)      //女生判断当前求婚对象是否优于目前配偶
{int i=0,j=0;while((*this).wm[i] != _m.m_ID) ++i;while((*this).wm[j] != _current.m_ID) ++j;  //匹配当前两个男生 在女生心中的排序情况if (i<j)   {cout<<"prefer yes"<<endl;return 0;}  //女生更喜欢当前求婚者else       {cout<<"prefer no"<<endl;return 1;}  //女生更喜欢目前配偶
}void GS_Matching(man* _M, woman * _WM)            //进行GS算法配对
{queue<man> unpaired_man;                     //构造未配对男生队列for (int i=0;i<5;i++){unpaired_man.push(*(_M+i));}                                                        //将男生都装入未配对男生队列while (!unpaired_man.empty()){cout<<"有"<<unpaired_man.size()<<"个男生等待配对"<<endl;man &temp_m= unpaired_man.front();cout<<"当前求婚的是第"<<temp_m.m_ID<<"个男生"<<endl;unpaired_man.pop();while(temp_m.is_married ==0)                            //循环条件，当目前男生未配对成功时，则进行配对{cout<<"他求了"<<temp_m.proposal_count<<"次婚"<<endl;cout<<"他的当前求婚对象是第"<<_WM[temp_m.m[temp_m.proposal_count]-1].w_ID<<"个女生"<<endl;if(_WM[temp_m.m[temp_m.proposal_count]-1].is_married == 0)   //此时他求婚的这个女生尚未配对{temp_m.propose(_WM[temp_m.m[temp_m.proposal_count]-1],_M);cout<<"他的对象是第"<<temp_m.married_ID<<"个女生"<<endl;/*cout<<"他的求婚成功状态："<<temp_m.is_married<<endl;cout<<"他的对象的婚姻状态"<<_WM[temp_m.married_ID-1].is_married<<endl;//*/_M[temp_m.m_ID-1] = temp_m;      //同步男生数组中的对象和参与求婚的临时对象cout<<"//---------------------//"<<endl;}else                           //此时他求婚的这个女生尚未配对{cout<<"他要准备挖墙脚了"<<endl;temp_m.propose(_WM[temp_m.m[temp_m.proposal_count]-1],_M);/*cout<<"他自己的号码是："<<_WM[temp_m.married_ID-1].current_manID<<endl;cout<<"他的求婚成功状态："<<temp_m.is_married<<endl;cout<<"他的对象的婚姻状态"<<_WM[temp_m.married_ID-1].is_married<<endl;*/_M[temp_m.m_ID-1] = temp_m;  //同步男生数组中的对象和参与求婚的临时对象if (temp_m.married_ID!=0)   //此次他成功求婚{cout<<"他这次挖成功了"<<endl;cout<<"他的对象是第"<<temp_m.married_ID<<"个女生"<<endl;cout<<"这次被甩的男生号码是："<<_WM[temp_m.married_ID-1].unlucky_m<<endl;int tmp ;tmp = _WM[temp_m.married_ID-1].unlucky_m-1; //取得这个被甩的男生在男生数组中的序号unpaired_man.push(*(_M+tmp));              //将被甩男生压入队列cout<<"待配对男生队列长度+1"<<endl;cout<<"//---------------------//"<<endl;}else   //此次他求婚失败{cout<<"他这次挖失败了"<<endl;cout<<"//---------------------//"<<endl;cout<<"当前求婚的是第"<<temp_m.m_ID<<"个男生"<<endl;}       }//一次挖墙脚行动结束}//(temp_m.is_married ==0),此时队头男生配对成功}//while(!unpaired_man.empty)，此时单身男生队列为空
}void func(man *_m)  //输出每个男生的配偶
{for(int i=0;i<5;i++)cout<<"第"<<_m[i].m_ID<<"个男生配对第"<<_m[i].married_ID<<"个女生"<<endl;
}void func(woman *_wm)//输出每个女生的配偶
{for(int i=0;i<5;i++)cout<<"第"<<_wm[i].w_ID<<"个女生配对第"<<_wm[i].current_manID<<"个男生"<<endl;
}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{int a1[5]={2,1,4,5,3};int a2[5]={4,2,1,3,5};int a3[5]={2,5,3,4,1};int a4[5]={1,4,3,2,5};int a5[5]={2,4,1,5,3};int b1[5]={5,1,2,4,3};int b2[5]={3,2,4,1,5};int b3[5]={2,3,4,5,1};int b4[5]={1,5,4,3,2};int b5[5]={4,2,5,3,1};man M[5]={man(a1,1),man(a2,2),man(a3,3),man(a4,4),man(a5,5)};woman WM[5]={woman(b1,1),woman(b2,2),woman(b3,3),woman(b4,4),woman(b5,5)};GS_Matching (M,WM);func(M);cout<<"//----------//"<<endl;func(WM);cout<<"ok"<<endl;system("pause");return 0;}

Gale-Shapley算法的证明

1.算法步数有限的证明：
1）由于男生总是按照降序对女生进行求婚，且男生不吃“回头草”；
2）女生一旦匹配成功后，将采取观望的态度，即不会在没有新的配偶的情况下，选择单身；
那么最大的匹配情况就是，所有男生对所有女生都进行了一次求婚，此时算法终止。

2.算法完备性（即所有人都会配对成功）的证明：
反证法：
1）.假定在算法结束后，男生X没有配对成功，那么同样存在一个女生A未配对成功；
2）.由于算法结束的最恶劣条件是男生对所有女生都求过一次婚，那么X即对A求过婚，而最终X是单身，即A或早或迟都拒绝（或抛弃）了X；
3）.A拒绝X的条件是：A当前有更好的配偶。而依据女生的观望策略，A最终一定会有比X更好的配偶，那么与A单身矛盾，故假设不成立，即算法终止时，每个人都得到了配对。

3.算法稳定性的证明：
反证法：
1）.假定算法终止时，A（女）-X（男）是一对不稳定的对（即相互吸引的两个人）；
2）.情况一：X没有向A求过婚，那么X的当前配偶比A“优秀”（由于X按照降序方式进行求婚），即X更喜欢其当前配偶，那么 A-X是稳定的对；
情况二：X向A求过婚，那么A或早或迟拒绝了X。那么A的当前配偶比X“优秀”，即A更喜欢其当前配偶，那么A-X是稳定的对；

3）.由2）可知，A-X总是稳定的对，假设不成立，即证明算法的稳定性。

4.算法偏向性（男性最佳策略）的证明
反证法：
1）.假设GS算法得到的匹配不是所有男性得到最佳稳定伴侣，那么至少有一个男生被其最佳稳定伴侣所拒绝。
2）.不妨令第一个被其最佳稳定伴侣拒绝的男生为Y，设其最佳稳定伴侣为A。
那么在非GS算法中，会达到一个稳定匹配 Y-A，设这个稳定匹配算法为S。
3）.对Y执行GS算法时，由于Y按照降序进行求偶，且A是Y的最佳稳定伴侣，则在Y的优先序列中，排名在A之前的女生最终都会拒绝Y（略去不表）。
而A或早或迟也会抛弃Y，不妨设 A 抛弃 Y后，选择了Z，A一定更喜欢Z（相对Y）。
4）.不妨令在S算法中，Z的稳定匹配为B。
那么可知，Z一定更喜欢B，否则在S匹配算法中，Z与A会进行结合。与A-Y、Z-B稳定匹配相矛盾。
再对Z执行GS算法，由于Z按照降序求偶，那么Z会先向B求婚，而后续A又能与Z匹配成功（（3）中得知），那么说明B拒绝了Z。与X是第一个被拒绝的相矛盾。
5）.故假设不成立，即GS算法得到的匹配是所有男生均得到最佳稳定伴侣的算法。

总结

GS稳定匹配算法是一个很经典的算法，蕴含着博弈的思想在里边，在很多方面都有应用。其给我的一个深刻的印象就是：主动策略（男生）总是能获得稳定博弈局面下的最优结果，反之则获得最劣结果。
这是我第一次在CSDN上发表类似的技术文档，仅供个人记录和技术交流，如果有不对的地方，请各位不吝指出。

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