计算机程序设计艺术习题解答（Excercise 1.2.2-28～30题）

28. [M30 ] (R. Feynman.) 开发一个计算 $b^{x}$ 的算法，其中 0 ≤ x < 1, 只使用加法、减法和移位(shifting)运算（类似于 exercise 25 使用的算法), 并分析算法的精度。

解：

Exercise 25 是计算 $\log_{b}{x}$ 其中 $1\leq x< 2$ 的一个简易算法，算法用到了两个变量 x 和 y，其中 x 初值为输入的 x，y 的初值为零。在算法中 x 不断减去它当前数值的 $\frac{1}{2^{k}}$ （ k 从 1 开始逐渐递增），相当于 x 以 $((2^{k}-1)/2^{k})$ 的比例逐渐递减，同时 y 会相应加上 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 来弥补 x 的减少，使得当前的 $\log_{b}{x}+y$ 的值始终保持近似恒定，直到 x（或 x 的近似值）减到1为止，此时 y 的值就是算法所求的 $\log_{b}{x}$ 。当然算法需要一个所有 k $(k\geq 1)$ 对应的 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 的值的辅助表来快速计算 y 的值。

Exercise 28 刚好是 Exercise 25 的逆运算，因此我们正好将对 x 和 y 变量的操作互换。注意到此时算法输入的 x 限制为 0 ≤ x < 1，而我们发现 $b^{x}= b/b^{1-x}$ ，因此可以将变量 x 的初值设为(1-x)，变量 y 的初值设为分子 b $(x:1-x\rightarrow 0,\, \, y:b\rightarrow b^{x})$ ，在算法进行中 y 变量的值以 $((2^{k}-1)/2^{k})$ 的比例逐渐递减（ k 从 1 开始逐渐递增），同时 x 变量的值会相应减去 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 来弥补 y 变量值的减少，使得当前变量 $y/b^{x}$ 的值始终保持近似恒定（ $y\rightarrow y((2^{k}-1)/2^{k})\: \: \Leftrightarrow \: \: b^{x}\rightarrow :b^{x}b^{\log_{b}((2^{k}-1)/2^{k})}=b^{x-\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))}$ ），直到变量 x（或 x 的近似值）减到 0 为止，此时变量 y 的值就是算法所求的 $b^{x}$ 的值。具体英文算法如下（考虑到计算机的有限精度限制，引入很小的常数 $\epsilon$ ）：

E1. [Initialize.] Set $x\leftarrow (1-x-\epsilon )$ , $y\leftarrow y_{0}$ , and $k\leftarrow 1$ , where $(1-\epsilon)$ is the largest possible value of x, and $y_{0}$ is the nearest approximation to $b^{1-\epsilon }$ . (The quantity $y/b^{x}$ will remain approximately constant in the following steps.)
E2. [Test for end.] If $x=0$ , stop.
E3. [Compare.] If $x< \log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ , increase $k$ by 1 and repeat this step.
E4. [Reduce values.] Set $x\leftarrow x-\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ , $y\leftarrow y-(y \, shifted\, right \, k)$ ,

and go to E2.

当然算法需要复用 25 题用到过的所有 k $(k\geq 1)$ 对应的 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 的值的辅助表。

在步骤 E1 中，假设 y 的初值（考虑近似误差）为 $b^{1-\epsilon}(1+\epsilon _{0})$ ，在其后每次执行 E4 时，都可能会产生计算误差，对应到第 j 次 (j > 0)，可表示为 $x\leftarrow x+\log_{b}(1-2^{-k})+\delta _{j}$ ， $y\leftarrow y(1-2^{-k})(1+\epsilon _{j})$ ，其中 $\delta _{j}$ 和 $\epsilon _{j}$ 是每次 E4 在有限精度限制下导致的小误差。当算法终止时，得到最终结果 $y=b^{x-\sum \delta _{j}}\prod _{j}(1+\epsilon _{j})$ 。

有必要指出，那个辅助表中 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 的值也只能是在有限精度下的近似值。但当基数 b 是 e 时（自然对数），计算机可以算出 $\log_{b}(2^{k}/(2^{k}-1))$ 更为精确的值。根据麦克劳林级数展开， $\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-...$ ，那么就有 $\ln(2^{k}/(2^{k}-1))=-\ln(1-2^{-k})=2^{-k}+\frac{1}{2}2^{-2k}+\frac{1}{3}2^{-3k}+\frac{1}{4}2^{-4k}+...$ ，这个计算在电脑中可以通过简单的移位操作更加高效地完成。

29. [HM20 ] Let x be a real number greater than 1. (a) For what real number b > 1 is $b\log_{b}x$ a minimum? (b) For what integer b > 1 is it a minimum? (c) For what integer b > 1 is $(b+1)\log_{b}x$ a minimum?

解：

将 $b\log_{b}x$ 改写成 $\frac{b\ln{x}}{\ln{b}}$ 。

(a): 令 f(b) = $\frac{b\ln{x}}{\ln{b}}$ ，则 $f^{'}(b)=\frac{(\ln{b}-1)\ln{x}}{(\ln{b})^{2}}$ ，若要让 f(b) 取到最小值，则必须 $f^{'}(b)=0 \Rightarrow \ln{b}=1\Rightarrow b=e$ ，再和其它 b 的取值比较，显然有当 b = e 时 $b\log_{b}x$

有最小值。

(b): 当 b 是大于 1 的整数时，其实就是看 $\frac{b}{\ln{b}}$ 什么时候最小。显然，当 b 是大于 e 的整数时，随着 b 的增大， $\frac{b}{\ln{b}}$ 也会相应增大。现在只需要比较下当 b = 2 和 b = 3 时 $\frac{b}{\ln{b}}$

的值哪个大就行。由于 $\frac{2}{\ln{2}}-\frac{3}{\ln{3}}=\frac{2\ln{3}-3\ln{2}}{\ln{2}\ln{3}}=\frac{\ln{9}-\ln{8}}{\ln{2}\ln{3}}>0$ ，可知当 b = 3 时 $\frac{b}{\ln{b}}$ 取到最小值，也就是 $b\log_{b}x$ 在 b = 3 时取到最小值。

(c): 由 $(b+1)\log_{b}x=\frac{b+1}{\ln{b}}\ln{x}$ ，当 b 是大于 1 的整数时，其实就是看 $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 什么时候最小。貌似和上面一样，当 b 是大于 e 的整数时，随着 b 的增大， $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 也会相应增大。而且比较 b = 2 和 b = 3 时的情况，也有 $\frac{3}{\ln{2}}-\frac{4}{\ln{3}}=\frac{3\ln{3}-4\ln{2}}{\ln{2}\ln{3}}=\frac{\ln{27}-\ln{16}}{\ln{2}\ln{3}}>0$ ，即 b =3 时 $\frac{b+1}{\ln{b}}$

比 b = 2 时更小。微妙之处在于比较 b = 3 和 b = 4 的情况，有 $\frac{4}{\ln{3}}-\frac{5}{\ln{4}}=\frac{4\ln{4-5\ln{3}}}{\ln{3}\ln{4}}=\frac{\ln{256}-\ln{243}}{\ln{3}\ln{4}}>0$ ，即 $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 当 b = 3 时比 b = 4 时更大。且 $\frac{5}{\ln{4}}-\frac{6}{\ln{5}}=\frac{5\ln{5-6\ln{4}}}{\ln{4}\ln{5}}=\frac{\ln{3125}-\ln{4096}}{\ln{4}\ln{5}}<0$ ，即 $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 当 b = 5 时比 b = 4 时更大。这说明 b = 4 才是 $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 向上的拐点，所以可得 b = 4时 $\frac{b+1}{\ln{b}}$ 取到最小值，也就是 $(b+1)\log_{b}x$ 在 b = 4 时取到最小值。

30. [12] Simplify the expression $(\ln{x})^{\ln{x}/\ln{\ln{x}}}$ , assuming that $x>1$ and $x\neq e$ .

解：

对这个表达式再取一次自然对数，就得到 $\ln{(\ln{x})^{\ln{x}/\ln{\ln{x}}}}=(\ln{x}/\ln{\ln{x}})\ln{\ln{x}}=\ln{x}$ ，因此这个表达式可直接简化为 x 。