rsa公钥密码和签名含C语言代码

RSA是目前使用最广泛的公钥密码体制之一。它是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
RSA算法的安全性基于RSA问题的困难性，也就是基于大整数因子分解的困难性上。但是RSA问题不会比因子分解问题更加困难，也就是说，在没有解决因子分解问题的情况下可能解决RSA问题，因此RSA算法并不是完全基于大整数因子分解的困难性上的。
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1.欧拉函数

什么是欧拉函数
　　欧拉函数是小于x的整数中与x互素的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1.
如何计算欧拉函数
　　通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…*(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有素因数，n是不为0的整数.
欧拉函数的一些性质　　
① N是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）

② 除了N=2,φ(N)都是偶数.

③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。

④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。

⑤ 当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N)

⑥ 若N是质数p的k次幂，φ(N)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。

⑦ 当N是质数时，φ(N) = N-1

欧拉定理

欧拉定理是指：如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立：

即a的φ(n)次方减去1，可以被n整除. 比如，3和4互质，φ(4)=2，(3^2-1)/4=2. 当a为正整数，n为素数且a不能被n整除时，则有　　　　　　　　　　　a^(n-1) ≡ 1 (mod n)这就是费马小定理.

模反元素

如果两个正整数a和n互素，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1. 这时，b就叫做a对模数n的模反元素.

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在，如下图，可以看到：a的 φ(n)-1 次方，就是a对模数n的模反元素.

RSA算法

5.1 密钥的生成过程

随意选择两个大的素数p和q，p不等于q，计算n = pq.
根据欧拉函数的性质3，求得r=φ(n)=φ( p)φ(q)=(p-1)(q-1).
选择一个小于r的整数e,且e与r互素；并求得e关于r的模反元素，命名为d.(模反元素存在，当且仅当e与r互质; 求d令ed≡1(mod r)）
将p和q的记录销毁
　　其中(n，e)是公钥，(n，d)是私钥. 例如：
A随机选两个不相等的质数61和53，并计算两数的积n=61*53=3233，n的长度就是密钥长度。3233的二进制是110010100001，一共12位，
所以这个密钥就是12位. 实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要的场合是2048位.
计算n的欧拉函数; φ(n)=(p-1)(q-1)=60*52=3120.
A在1到3120上随机选择了一个随机数e=17，与3120互素.
计算e对φ(n)的模反元素d，即时，ed-1=kφ(n)。
即使求解：17x+3120y=1.用扩展欧几里得算法求解。可以算出一组解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753. 公钥(3233, 17)，私钥(3233,2753)
　　至此完成计算.
5.2 RSA的可靠性　　　　
在RSA私钥和公钥生成的过程中，共出现过p,q,n,φ(N),e,d，其中n,e组成公钥，其他的都不是公开的，一旦d泄露，就等于私钥泄露;　　那么能不能根据n,e推导出d呢？　　　　
1.ed ≡ 1(mod φ(n)) 只有知道e和φ(n)，才能算出d
φ(n)=(p-1)(q-1) 只有知道p和q,才能算出φ(n）
n=pq,只有将n分解才能算出p和q　　所以，只有将n素因数分解，才能算出d; 也就意味着私钥破译. 但是，大整数的质因数分解是非常困难的. 所以理论上来说，如果我们找到　　了快速对大整数进行质因数分解的方法，那么RSA加密也就没什么安全性可言了；遗憾的是，目前数学上并没有找到这样快速的质因数分解方法.
5.3 RSA的加密过程　　　　
假设A要向B发送加密信息m，他就要用B的公钥(n,e)对m进行加密，但m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小　　于n. 所谓加密就是计算下式的c:　　　　m^e ≡ c (mod n)　　假设m=65,B的公钥(3233,17),所以等式如下：　　　　65^17≡2790（mod 3233）　　所以c等于2790，A就把2790发给B.5.4 RSA的解密过程　　　　B收到A发来的2790后，就用自己的私钥(3233,2755)进行解密　　　　　 c^d ≡ m (mod n)　　也就是c的d次方除以n的余数就是m　　　　　　2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)　　因此得到原文65.

C语言代码

#include <stdio.h>
int candp(int a,int b,int c)
{ int r=1;b=b+1;while(b!=1){r=r*a;r=r%c;b--;}return r;
}
main()
{int p,q,e,d,m,n,t,c,r;char s;printf("请输入大素数p和q ");scanf("%d%d",&p,&q);n=p*q;printf("n=%3d\n",n);t=(p-1)*(q-1);printf("t=%3d\n",t);printf("请输入 e: ");scanf("%d",&e);if(e<1||e>t){printf("输入的e不合规，请重新输入 ");scanf("%d",&e);}d=1;while(((e*d)%t)!=1)   d++;printf("计算d的结果为 %d\n",d);printf("加密请输入 1\n");printf("解密请输入 2\n");scanf("%d",&r);switch(r){case 1: printf("输入明文m: "); /*输入要加密的明文数字*/scanf("%d",&m);c=candp(m,e,n);printf("密文为 %d\n",c);break;case 2: printf("输入密文 c: "); /*输入要解密的密文数字*/scanf("%d",&c);m=candp(c,d,n);printf("明文为 %d\n",m);break;}getchar();
}