前情回顾

【机器人学】平面2R机器人（一）——正运动学

【机器人学】平面2R机器人（二）——逆运动学

【机器人学】平面2R机器人（三）——速度雅可比矩阵

【机器人学】平面2R机器人（四）——正动力学

解答

模型回顾

在上一篇文章中，计算得到平面2R机器人的动力学方程如下：

$\pmb{\tau}=\begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\theta}_1\\ \ddot{\theta}_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\theta}_1^2\\ \dot{\theta}_2^2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} C_1\\C_2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} G_1\\G_2 \end{bmatrix}$

其中，

$M_{11}=\frac{5ml^2}{3}+ml^2\cos\theta_2,M_{12}=M_{21}=\frac{ml^2}{3}+\frac{ml^2}{2}\cos\theta_2,M_{22}= \frac{ml^2}{3}$

$D_{11} = D_{22} = 0,D_{12}=-\frac{ml^2}{2}\sin\theta_2,D_{21}=\frac{ml^2}{2}\sin\theta_2$

$C_1=-ml^2\sin\theta_2 \ \dot{\theta}_1\dot{\theta}_2,C_2=0$

$G_1=\frac{3mgl}{2}\sin\theta_1+\frac{mgl}{2}\sin(\theta_1+\theta_2),G_2=\frac{mgl}{2}\sin(\theta_1+\theta_2)$

逆动力学求解

所谓逆动力学，就是已知目标关节角度或末端坐标（两者可通过正逆运动学互相转换），求解出施加在机器人关节上的力或力矩。将我们在前文中求解的动力学方程进一步化简得到：

$\pmb{\tau}=M(\pmb{\theta})\pmb{\ddot{\theta}}+C(\pmb{\theta},\pmb{\dot{\theta}})\pmb{\dot{\theta}}+N(\pmb{\theta},\pmb{\dot{\theta}})$

如果是完美的机器人模型，并且 $\pmb{\theta}(0)=\pmb{\theta}_d(0)$ ， $\pmb{\dot \theta}(0)=\pmb{\dot \theta}_d(0)$ ，则可以选择：

$\pmb{\tau}=M(\pmb{\theta}_d)\pmb{\ddot \theta}_d+C(\pmb{\theta}_d,\pmb{\dot \theta}_d)\pmb{\dot \theta}_d+N(\pmb{\theta}_d,\pmb{\dot \theta}_d)$

作为施加的控制力矩，这就是开环控制律：机器人当前的状态并未被当前输入力矩所参考。但是没有模型是完美的，也没有系统是不受噪声干扰的，该控制律不能消除误差，所以需要引入反馈，使用计算力矩法控制机器人运动。

$\pmb{\tau}=M(\pmb{\theta})(\pmb{\ddot \theta}_d-K_v\pmb{\dot e}-K_p\pmb{e})+C(\pmb{\theta},\pmb{\dot \theta})\pmb{\dot \theta}+N(\pmb{\theta},\pmb{\dot \theta})$

其中 $\pmb{e}=\pmb{\theta}-\pmb{\theta}_d$ ， $K_v,K_p$ 是常增益矩阵，将该力矩方程代入前文的动力学方程得到：

$M(\pmb{\theta})(\pmb{\ddot \theta}_d-K_v\pmb{\dot e}-K_p\pmb{e})+C(\pmb{\theta},\pmb{\dot \theta})\pmb{\dot \theta}+N(\pmb{\theta},\pmb{\dot \theta})=M(\pmb{\theta})\pmb{\ddot{\theta}}+C(\pmb{\theta},\pmb{\dot{\theta}})\pmb{\dot{\theta}}+N(\pmb{\theta},\pmb{\dot{\theta}})$

$M(\pmb{\theta})(\pmb{\ddot e}+K_v \pmb{\dot e} + K_p \pmb{e})=0$

因为 $M(\pmb{\theta})$ 总是正定的，所以

$(\pmb{\ddot e}+K_v \pmb{\dot e} + K_p \pmb{e})=0$

系统变为了我们熟知的二阶线性系统。而且只要 $K_v,K_p$ 均是正定对称矩阵，该控制律会使系统指数稳定。

未完待续...

【机器人学】平面2R机器人（六）——MATLAB仿真

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