网络流及建模专题(下)
前言
不断更新中…
专题的(下)篇将介绍网络流的一些奇奇怪怪的应用和费用流有关的一些套路。
本专题暂时包含三道题：
洛谷P1251 餐巾计划问题: 费用流的基本应用
Trade Gym - 100212I: 使用网络流对图论中的边进行调整
codeforces 818G - Four Melodies: 费用流压缩建图
洛谷P1251餐巾计划问题
题意
见题目链接
题解
这道题我们把选取一张餐巾纸当作是一个单位的流量，那么显然来源部不同的餐巾纸，他们的费用是不相同的，这就引出了费用流(最小费用最大流)的模型。
每一天可以在早上接受r[i]r[i]r[i]数量的餐巾纸，同时也可以将r[i]r[i]r[i]数量的餐巾纸送去清洗，所以我们需要将每一天拆成两个点，分别表示需要餐巾纸的点和送走餐巾纸的点。
需要餐巾纸的点与汇点TTT连边，容量为r[i]" role="presentation" style="position: relative;">r[i]r[i]r[i]，费用为000。还要和源点S" role="presentation" style="position: relative;">SSS连边，容量为r[i]r[i]r[i]，费用为ppp，这代表购买新的餐巾纸的方式。
送走餐巾纸的点需要和两个点进行连边：
- 送去慢洗，则需要和n" role="presentation" style="position: relative;">nnn天以后的需求点连边，容量为infinfinf，费用为慢洗一条的费用。
- 送去快洗，则需要和mmm天以后的需求点连边，容量为inf" role="presentation" style="position: relative;">infinfinf，费用为快洗一条的费用。
注意，由于一条餐巾纸洗完了可以存放任意时间，所以我们需要在相邻需求点之间连立一条费用为000，容量为inf" role="presentation" style="position: relative;">infinfinf的边，代表的含义就是餐巾纸在存放。
如图所示:
优化：由于BBB累点之间有边相连，表示餐巾纸可以存放到下一天，那么，我们可以把S−>B" role="presentation" style="position: relative;">S−>BS−>BS->B的边省略掉，只保留S−>1BS−>1BS->1B这条边，表示所有新购买的餐巾纸都在第一天买好，然后存放到需要的那一天再使用。
优化图如下：
这样建图完成以后，跑一个最小费用最大流就可以了。
注意：请检查你的板子速度是否可行，我的板子速度就太慢了，zkw费用流模板了解一下。参考代码 略
Trade Gym - 100212I
题意
给出A、B两个点集，A、B之间有边相连，而A和B的内部均无边相连。
题目要求求出最多删除A、B之间的多少边，才能使得A中点的度数至少都为2，B中点的度数也至少都为2。题解
先求出每个点的度数，从每个点v出发，最多能删除deg[v]−2deg[v]−2deg[v]-2条边（注意这里是理想情况下，不一定能删除这么多）。
那么我们就可以建立一个超级源点SSS和超级汇点T" role="presentation" style="position: relative;">TTT，从SSS往A" role="presentation" style="position: relative;">AAA点集连边，边的容量为deg[v]−2deg[v]−2deg[v]-2，从BBB点集往T" role="presentation" style="position: relative;">TTT点连边，边的容量为deg[u]−2deg[u]−2deg[u]-2
AAA和B" role="presentation" style="position: relative;">BBB之间的边流量全为111。
从S" role="presentation" style="position: relative;">SSS点流到TTT的每一个为1" role="presentation" style="position: relative;">111的流量，都相当于在原图里面删除了这条边。
跑一边最大流，就可以得到最多能删除多少边了。在残余网络中做一些小操作就可以把剩余的边输出出来。
网络图如下：
总结
网络流可以用于对图论中的边进行调整，当图论中的一条边存在流量流过的时候，代表该边被“调整”了，调整可以具有很多含义，比如本题中的“删除”也算“调整”。
参考代码 略
Four Melodies
题意
题目链接
给出nnn个数，输出选四个不相交的melody的所有情况中，4个melody长度总和的最大值。
要形成Melody，要求相邻的数字要么相差1" role="presentation" style="position: relative;">111，要么相差777的倍数。
题解
一种很直观的建图方法就是把每个数字拆成2个点in" role="presentation" style="position: relative;">ininin和outoutout，然后源点也拆成2个点sss和s′" role="presentation" style="position: relative;">s′s′s'，并把s′s′s'作为费用流的源点。
从s′−>ss′−>ss'->s建立一条容量为444费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边。然后从sss点向每个in" role="presentation" style="position: relative;">ininin建立一条容量为111，费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边。
再从ininin向outoutout建立一条容量为111，费用为−1" role="presentation" style="position: relative;">−1−1-1的边。从outoutout向汇点ttt建立一条容量为1" role="presentation" style="position: relative;">111，费用为000的边。
然后对于任意两个node.i,j" role="presentation" style="position: relative;">node.i,jnode.i,jnode. i,j如果iii到j" role="presentation" style="position: relative;">jjj符合相邻的222个条件，那么就从i的out" role="presentation" style="position: relative;">outoutout点向j的ininin点连接一条容量为111费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边，表示他们可以串起来。
这样的话，建图的复杂度为O(n2)O(n2)O(n^2)，边的个数也为O(n2)O(n2)O(n^2)，复杂度太高了，因此需要压缩建图。
奇技淫巧：当你找不到任何优化的点的时候，可以考虑搞一个出错率极小的做法，有一个想法就是每个点仅向后面50个点连边。
怎么压缩建图呢？
把每个点都扩充成3个点in,mid,outin,mid,outin,mid,out，其中ininin往midmidmid 连边容量为111，费用为−1" role="presentation" style="position: relative;">−1−1-1，midmidmid往outoutout连边，容量为111，费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000。
从ininin往outoutout连边容量为infinfinf，费用为000，表示途径这个点。
关键的一步来了：
从i这个点往后找第一个使得val[i]=val[j]+1" role="presentation" style="position: relative;">val[i]=val[j]+1val[i]=val[j]+1val[i] = val[j]+1的点jjj，从i.out" role="presentation" style="position: relative;">i.outi.outi.out向j.inj.inj.in连接一条容量为111，费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边。
从iii这个点往后找第一个使得val[i]=val[j]−1" role="presentation" style="position: relative;">val[i]=val[j]−1val[i]=val[j]−1val[i] = val[j]-1的点jjj，从i.out" role="presentation" style="position: relative;">i.outi.outi.out向j.inj.inj.in连接一条容量为111，费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边。
从i这个点往后找第一个使得（val[i]−val[j]）%7==0（val[i]−val[j]）%7==0（val[i] - val[j]）\%7 == 0 的点jjj，从i.out" role="presentation" style="position: relative;">i.outi.outi.out向j.inj.inj.in连接一条容量为111，费用为0" role="presentation" style="position: relative;">000的边。
这样的话，图就算压缩完成了（不需要两两比较建图）。
图举例：
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