目录

HYPERLINK \l "_TOC_250020" 第一章 绪论I

HYPERLINK \l "_TOC_250019" 1. 1课题背景和意义I

HYPERLINK \l "_TOC_250018" 1. 2课题研究现状I

HYPERLINK \l "_TOC_250017" 1. 3课题要求II

HYPERLINK \l "_TOC_250016" 1. 4 课题解决II

HYPERLINK \l "_TOC_250015" 1. 5论文结构安排III

HYPERLINK \l "_TOC_250014" 第二章 有限元法及偏微分方程解法理论分析IV

HYPERLINK \l "_TOC_250013" 2. 1有限元基本知识介绍IV

HYPERLINK \l "_TOC_250012" 2. 2求解二维热传导方程的基本思想V

2. 2. 1将定解区域离散V

2. 2. 2插值函数的选择VI

2. 2. 3方程组的建立VI

2. 2. 4方程组的求解VI

HYPERLINK \l "_TOC_250011" 2. 3二维热传导方程VI

2. 3. 1网格剖分VI

2. 3. 2离散方程组的构建VII

2. 3. 3稳定性分析IX

HYPERLINK \l "_TOC_250010" 第三章 FEM求解二维热传导方程在 MATLAB 中的实现XI

HYPERLINK \l "_TOC_250009" 3. 1MATLAB 相关知识简介XI

3. 1. 1追赶法简介XI

3. 1. 2相关函数命令简介XII

HYPERLINK \l "_TOC_250008" 3. 2FEM求解二维热传导方程在 MATLAB 中的实现方法XIII

HYPERLINK \l "_TOC_250007" 第四章 数值化和可视化举例分析XV

HYPERLINK \l "_TOC_250006" 4. 1二维热传导方程数值求解的 MATLAB 实现XV

4. 1. 1 研究一种较为简单的情况：XV

4. 1. 2 研究一种较为复杂的情况XVI

HYPERLINK \l "_TOC_250005" 4. 2误差分析XVIII

HYPERLINK \l "_TOC_250004" 结论与展望XXI

HYPERLINK \l "_TOC_250003" 致谢XXIII

HYPERLINK \l "_TOC_250002" 参考文献XXIV

HYPERLINK \l "_TOC_250001" 附录 A: 程序清单XXV

HYPERLINK \l "_TOC_250000" 附录 B: 外文翻译资料XXV

第 一 章绪 论

1. 1课题背景和意义

热传导是一种普遍存在的物理现象, 它广泛存在于目前的工程应用领域中，对 人们的生产和生活实践有着广泛而深刻的影响。虽然人们对于热传导现象的本质特 征已有了一个比较完整的认识，并已通过严密的数学逻辑公式推导对其物理特征进 行了精确的描述，但所得到的结果往往是复杂的积分或级数表达式，其中还免不了 使用某些特殊函数，由于现在数学上存在的困难，在工程中许多热传导问题还不能 采用分析解法进行求解。因此, 通过一种较为简便直观的方式掌握控制和改进热量 传递的方法和技术措施, 无论对国民经济建设还是改善人民生活都具有重要的意 义。

近年来，随着计算机技术迅速发展，数值方法已经得到广泛应用并成为有力的 辅助求解工具，人们在此基础上已发展了诸如有限差分法、有限元法和边界元法等 用于工程问题的求解方法。

我们知道，热传导问题的数学表达式一般为偏微分方程形式，但偏微分方程一 般并没有固定有效的精确解法，因而人们广泛采用数值方法来实现热传导方程的研 究、模拟和仿真。对于热传导问题的数值计算及其可视化，原则上，可以用 FORTRAN 或 C 语言来完成这个任务，可是实际上并没有人去这样做，原因是成本太高，需要 消耗更多的人力和物力，达到的效果却并不能满足人们的需求。幸运的是，高性能 数学软件(如 MATLAB)与目前具有强大计算功能的个人计算机让这个问题变得简单 起来。

本课题旨在尝试利用目前在理论上已经成熟的有限差分法原理结合 MATLAB 强 大的数据处理和模拟仿真功能编写特定的程序代码对给定初边值条件的二维热传 导方程温度随时间、空间的变化规律进行研究并将其可视化。

本课题将以二维热传导方程的数值解法及 MATLAB 实现为主线，研究论证其可 行性，从而发现一种较为简便且极为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法， 意在更好的解决目前在工程和研究领域