《工程电磁场（第三版）》（倪光正主编）复习

看着《工程电磁场》本科期末考试试卷（A卷），看到填空题（每空2分，共30分），于是乎，开始了的（补考）复习计划。

还是先从第一章开始去复习，了解什么是电磁场的数学物理基础，还有模型的构成以及需要了解到的麦克斯韦方程组。

首先，了解电荷的分布形式，点电荷、面电荷、线电荷、体电荷……

第一章

体电流密度 J ，简称电流密度，是一个矢量函数，表示流过垂直与电荷流动方向的单位面积内的电流总量，其模定义为

$|\vec{J} | = lim (\Delta Sn\rightarrow 0)\Delta i/\Delta Sn = di / dSn$ (单位： $A/m^{\2}$ )

表征电场特性的基本场矢量——电场前强度 $\vec{E}$ 为

$\vec{E}(\vec{r}) =\lim_{qt\rightarrow 0}\vec{F}(\vec{r})/qt$ (单位：N/C 或 V/m)

式中，试体电荷qt( >0 )，其几何尺寸很小，切携带电荷量不影响场电荷。

运动电荷受到磁场力的特性定义基本场矢量——磁感应强度（也称磁通量密度） $\vec{B}$

在磁场中，以速度 $\vec{v}$ 运动的元电荷 $dq$ 所收到的磁场力（洛伦兹力）来定义磁感应强度 $\vec{B}$ ，即 $d\vec{F} = dq*(\vec{v} * \vec{B})$

$\vec{B}$ 的单位是T（特斯拉）。

安培力 $d\vec{F} = I (d\vec{l} * \vec{B})$

描述物质材料电磁性能的三个宏观电磁参数——电导率 $\gamma$ 、磁导率 $\mu$ 、介电常数 $\varepsilon$ 。

电位移矢量 $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

磁场强度 $\vec{H} = \vec{B} / \mu$

上述两式，称为媒质的构成方程。

$\vec{D}$ 的单位是 $C/m^{\2}$

$\vec{H}$ 的单位是 $A/m$

$\varepsilon$ 的单位是 $F/m$
$\mu$ 的单位是 $H/m$

标量场的梯度： $\triangledown u$ 或者 $grad(u)$

场函数 $\varphi (\vec{r})$ 在给点点的梯度：取得最大方向导数（ $\varphi$ 的变化率最大）的方向。

标量场的梯度是矢量场！

梯度的含义：最大变化率、最大变化的方向。

哈密顿算子： $\triangledown =(\vartheta /\vartheta x, \vartheta /\vartheta y, \vartheta /\vartheta z)$

重点：任一标量场的梯度的旋度恒等于0。也就是 $\triangledown * (\triangledown \varphi ) \equiv 0$ !!!！！！

标量场的梯度描述的是给定场点的最大方向导数！

则有，任一无旋场一定可由一个标量场的梯度予以表征——任一梯度场一定是无旋场！

面元矢量：

通量：

通量描述整体特性，不能描叙其中一点，但是当体积缩小至一点即可。

则，引出散度。

矢量场的散度

散度运算——矢量场的大小。用以判断有源、无源，以及是正源还是负源。 $div\vec{F} = \triangledown \cdot \vec{F} = \vartheta \vec{Fx}/\vartheta x + \vartheta \vec{Fy}/\vartheta y + \vartheta \vec{Fz}/\vartheta z$

$div \vec{F} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \Delta \psi / \Delta V = \oint_{S}^{ } \vec{F} * d\vec{S} / \Delta V = d \psi / d V$

散度定理（高斯定理）

$\varphi$ 是通量

$div \vec{A}$ 是将面通量缩小至一个点，得到点的状态

$\oint_{S}^{ }\vec{F} * d\vec{S} = \int_{V}^{ } (\triangledown \cdot \vec{F})dV$ 是高斯定理对散度进行了体积分得到

通量元、涡流元

环量

沿闭合曲线 $\vec{l}$ 的线积分

漩涡源

我们引入旋度

矢量场的旋度（环量密度最大值）

大小：环流面密度最大值

方向：环量密度取最大值时，面积元的法向

物理意义：描述了该点处涡流源密度矢量

环流量是单位时间内环绕某个曲线的量。

矢量场的旋度是环流量强度。

散量——闭合面积分

环量——闭合线积分

旋度计算公式

矢量的旋度是一个矢量

方向和环量积分路径循行的方向满足右手螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的发现方向 $\vec{en}$ ，其大小表征了每单位面积上的最大环量。

因此旋度描述了漩涡源的强度。

在不存在漩涡源的无源区，旋度必然为0。

每一行分别代表（单位方向）、（偏微分）、（方向上的投影）。

$\triangledown *\vec{F} = curl \vec{F}$

散度定理、高斯定理

散度定理：

$\oint_{S}^{ }\vec{F} * d\vec{S} = \int_{V}^{ } (\triangledown \vec{F})dV$

上式称散度定理，也叫高斯定理。高斯定理建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间的关系。

斯托克斯定理

环量 = 旋度的面积积分

$\int_{S}^{ } \triangledown * \vec{F}\cdot dS = \oint_{l}^{ } \vec{F} \cdot d \vec{l}$

斯托克斯定理也叫旋度定理，式中

S为围绕 l 所包围的面积； $d\vec{S}$ 方向与 $d\vec{l}$ 方向构成右手螺旋关系。

斯托克斯定理建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。

无散场与无旋场

有方向矢量，无旋——标量的梯度是矢量，标量的梯度的旋度为0！

任一标量场的梯度的旋度恒等于0。也就是 $\triangledown * (\triangledown \varphi ) \equiv 0$

静电场的电场强度 $\vec{E}$ 的旋度处处为0，静电场为无旋场。因此，电场强度 $\vec{E}$ 可以表示为标量场电位 $\varphi$ 的梯度，通常令 $\vec{E} = - \triangledown \varphi$ ；反之，由标量电位 $\varphi$ 的梯度构成的梯度场 $\vec{E}$ ，其旋度必然处处为0。

$\triangledown \cdot (\triangledown * \vec{A}) \equiv 0$ 是矢量分析中的另一个重要的恒等式。

任一矢量场 $\vec{A}$ 的旋度的散度恒等于0。

重点：电场强度与电位的关联式是 $\vec{E} = - \triangledown \varphi$

根据 $\triangledown \cdot (\triangledown * \vec{A}) \equiv 0$ ，可知，任一无散场可由另一矢量场的旋度表示。或者，任一旋度场一定是无散场。

重点：磁感应强度 $\vec{B}$ 可以表征为矢量磁位 $\vec{A}$ 的旋度，即 $\vec{B} = \triangledown * \vec{A}$ ；反之，由矢量磁位 $\vec{A}$ 的旋度构成的旋度场 $\vec{B}$ ，其散度必然处处为0。

理解： $\vec{B}$ 是一个旋度场，所以我们可以根据 $\triangledown \cdot (\triangledown * \vec{A}) \equiv 0$ 知道其散度一定为0；同理，我们假设这样的 $\vec{A}$ 存在，也就是意味着 $\vec{A}$ 的旋度就是 $\vec{B}$ 。

亥姆霍兹定理

矢量场 $\vec{F}(\vec{r})$ 唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。

重点：

$\vec{F}(\vec{r}) = -\triangledown \varphi (\vec{r}) + \triangledown *\vec{A}(\vec{r})$

理解一下：

$\vec{E} = - \triangledown \varphi$ ，因为 $\vec{E}$ 是有源无旋场。

$\vec{B} = \triangledown * \vec{A}$ ，因为 $\vec{B}$ 是有旋无源场。

这两个式子都符合上述的亥姆霍兹定理。

举例：

$\vec{E} = - \triangledown \varphi$ （ $\varphi$ 是电位函数）

电场和电位变化率方向相同，因电场由“高向低”，而电位率是“低 $\rightarrow$ 高”，故之前有一个“负号”。

电磁场的基本规律——麦克斯韦方程组

亥姆霍兹 $\rightarrow$ 麦克斯韦：因为亥姆霍兹的唯一确定性，我们才有了麦克斯韦方程的成立。

电磁感应定律

法拉第电磁感应 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l} = -d\phi / dt$

$e = -d\phi /dt$

导体回路中感应电动势e的大小与穿过回路的磁通随时间的变化率成正比，

$e = -d\phi /dt = -d/dt \cdot \int_{S}^{ }\vec{B} \cdot d\vec{S}$

S为由回路 $l$ 所界定的任意曲面，且已规定有关物理量的参考方向，即沿回路 $l$ 的感应电动势e的参考方向与穿过该回路的磁通 $\phi$ 的参考方向成右手螺旋关系。

$e = -d\phi /dt = -d/dt \cdot \int_{S}^{ }\vec{B} \cdot d\vec{S}$ 符合楞次定律。

闭合回路中的感应电动势及其所产生的感应电动势总是企图阻止与回路相交链的磁通变化。

动生电动势与洛伦兹力

$e = \oint_{l}^{ }\vec{Ei}\cdot d\vec{l} = \oint_{l}^{ }(\vec{v} * \vec{B}) \cdot d\vec{l}$

相对运动引起的感应电动势为发电机电动势。

感生电动势

$e = -d\phi /dt$

$e = -d/dt\cdot \int_{S}^{ } \vec{B} \cdot d\vec{S} = -\int_{S}^{ } d/dt\cdot (\vec{B}\cdot d\vec{S}) = - \int_{S}^{ }[\vartheta \vec{B} / \vartheta t]\cdot d\vec{S}$

当既有磁场随时间的变化，又有回路的相对运动时候：

$e =-\int_{S}^{ }\vartheta \vec{B}/ \vartheta t - \int_{S}^{ }\vartheta ( d \vec{S})/ \vartheta t$

感应电动势

$e = \oint_{l}^{ }\vec{Ei} \cdot d\vec{l}$

产生电场的场源由两种：电荷和变化的磁场。

两种场源共同激励产生的合成电场 $\vec{E} = \vec{Ei} + \vec{Eq}$

式中，由电荷产生的电场强度为 $Eq$ ，称为库伦场。

库伦场是无旋场， $\triangledown *\vec{Eq} = 0$ 库伦场是矢量场，旋度为0。 $\oint_{l}^{ }\vec{Eq}\cdot d\vec{l} = 0$ 也表示了环量为0。

电磁感应定律（麦克斯韦第二方程）的微分形式：

$\triangledown * \vec{E} = - \vartheta \vec{B} / \vartheta t$ 旋度方程。

全电流定律

安培环路定律

$\oint_{l}^{ } \vec{H} \cdot d\vec{l} = I = \int_{S}^{ }\vec{Jc} \cdot d\vec{S}$

磁场强度沿任一闭合回路的线积分等于穿过该回路所限定面积的传导电流的代数和。

$\triangledown *\vec{H} = \vec{Jc}$

安培环路定律的微分形式，磁场是有旋场。又根据 $\triangledown \cdot (\triangledown * \vec{A}) \equiv 0$

我们可以得到 $\triangledown \cdot \triangledown *\vec{H} = 0$

因此有 $\triangledown \cdot \vec{Jc} = 0$ 是静态场中传导电流连续性方程的微分形式。同时，证明磁场是有旋场。

安培环路定律成立的前提是传导电流连续。

传导电流和自由电荷之间的关系，受制于电荷守恒定律：

$\oint_{S}^{ } \vec{Jc} \cdot d\vec{S} = -\vartheta q / \vartheta t$

上式表明，在单位时间通过闭合面向外流出的电流，应等于此闭合面内单位时间所减少的电荷。

在静止媒质情况下，电荷守恒定律的微分形式为：

$\triangledown \cdot \vec{Jc} = - \vartheta \rho /\vartheta t$ 会受到时间的影响

麦克斯韦认为静电场的高斯定理：

$\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = q$

那么，推广应用到时变场

应用散度定理

$\vec{D} \cdot d\vec{S} = ( \triangledown \cdot \vec{D} ) dV$ 应用了高斯定理

代入 $\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = q$

得到 $\oint_{S}^{ }\vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_{V}^{ } ( \triangledown \cdot \vec{D} ) dV = q = \int_{V}^{ } \rho dV$

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

高斯定理的微分形式

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

重点：静电场的微分形式 $\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

代入电荷守恒定律

$\triangledown \cdot \vec{Jc} = - \vartheta \rho /\vartheta t$

得到

$\triangledown \cdot \vec{Jc} = - \vartheta (\triangledown \cdot \vec{D} ) /\vartheta t$

也就是

$\triangledown \cdot \vec{Jc} = -\triangledown \cdot (\vartheta \vec{D} / \vartheta t)$

把右边的式子推到左边去

也就是

$\triangledown \cdot \vec{Jc} + \triangledown \cdot (\vartheta \vec{D} / \vartheta t) = 0$

$\triangledown \cdot ( \vec{Jc} + \vartheta \vec{D} / \vartheta t ) = 0$

无旋场 $\vec{F}$ 可以等价于一个标量函数 $\varphi$ 的梯度场；

无散场 $\vec{F}$ 可等价于一个矢量函数 $\vec{A}$ 的旋度场。

（亥姆霍兹定律：矢量场 $\vec{F}$ 唯一地由其散度和旋度所确定）

法拉第电磁感应定律： $e = -d\phi /dt = -d/dt\cdot (\int_{S}^{ } \vec{B}\cdot d\vec{S})$ 感应电动势的大小由该区域面积 $\vec{B}\cdot \vec{S}$ 随时间变化确定，由动生电动势与感生电动势共同组成。

$e = -d\phi /dt = -d/dt\cdot (\int_{S}^{ } \vec{B}\cdot d\vec{S}) = - \int_{S}^{ } \vartheta \vec{B} / \vartheta t \cdot d\vec{S} + \oint_{l}^{ } (\vec{v} * \vec{B}) \cdot d\vec{l}$

上式中，第三个等号前后，我们将求导部分放了进去，不影响最后的答案。

动生电动势

$e = \oint_{l}^{ }\vec{Ei}\cdot d\vec{l} = \oint_{l}^{ }(\vec{v} * \vec{B}) \cdot d\vec{l}$

其中， $\vec{v}$ 、 $\vec{B}$ 、 $d\vec{l}$ 先后顺序不能更换，紧记 $\vec{v} * \vec{B} \cdot d\vec{l}$

感生电动势

$e = - \int_{S}^{ } \vartheta \vec{B} / \vartheta t \cdot d\vec{S}$

总是阻碍其通过闭合面的磁场变化。

法拉第电磁感应定律的推广 $\rightarrow$ 麦克斯韦第二方程（积分形式）

$\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \int_{S}^{ } \vartheta \vec{B} / \vartheta t \cdot d\vec{S}$

电场不仅由电荷产生，而且也可由随时间变化的磁场所产生。

安培环路定律：

磁场强度沿任一闭合回路 $l$ 的线积分等于穿过该回路所限定面积S的传导电流的代数和，

$\oint_{l}^{ } \vec{H} \cdot d\vec{l} = I = \int_{S}^{ }\vec{Jc} \cdot d\vec{S}$

$I = \oint_{l}^{ } \vec{H} \cdot d\vec{l}$

Tips： $\vec{Jc}$ 中的 $\vec{J}$ 指的是体电流密度。表示穿过流过垂直于电荷流动方向的单位面积内的电流总量。总和也就是 $I$ 总的电流。

基于位移电流假设，修正安培环路定律 $\rightarrow$ 麦克斯韦第一方程（积分形式）

磁场不仅由运动的电荷产生，而且也可以由随时间变化的电场产生。

麦克斯韦方程组——宏观电磁现象的规律性：

麦克斯韦方程组的积分形式：

全电流定律：磁场不仅由运动的电荷产生，而且也可以由随时间变化的电场产生。
电磁感应定律： $\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \int_{S}^{ } \vartheta \vec{B} / \vartheta t \cdot d\vec{S}$
磁通连续定理： $\oint_{S}^{ } \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
高斯定理： $\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_{V}^{ } \rho dV$

麦克斯韦方程组的微分形式：

全电流定律；
电磁感应定律： $\triangledown * \vec{E} = - \vartheta \vec{B} / \vartheta t$
磁通连续定理： $\triangledown \cdot \vec{B} = 0$
高斯定理： $\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

时变电磁场的时变电场是有散有旋的。

时变磁场是有旋无散的，传导电流（运输电流）与变化的电场是其旋度源。

时变电磁场是有散有旋场，在电荷与电流都不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。

电荷守恒定律：

$\triangledown \cdot \vec{Jc} = -\vartheta \rho /\vartheta t$ 电荷及电流关系

场量与媒质之间关联性：媒质构成方程

$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

$\vec{B} = \mu \vec{H}$

$\vec{Jc} = \gamma \vec{E}$

（后面会再次讲解到的）

重点理解：

麦克斯韦方程组表明：基于亥姆霍兹定理，由矢量场的散度和旋度特性可知，

时变电场是有旋有散的，除了作为散度源的时变电荷外，变化的磁场也是时变电场的旋度源。

时变磁场是有旋无散的，表明传导电流（运流电流）与变化的电场是其旋度源。

时变电磁场的电场和磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。

此外，在电荷与电流都不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的，此时，自行闭合的电场线与磁场线相互交链、激发，从而形成由近及远的向周围空间传播的电磁波。

第二章

静电场的基本方程：

积分形式：

$\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

$\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_{V}^{ } \rho dV = q$

微分形式：

$\triangledown * \vec{E} = 0$

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

在各向同性电介质中满足构成方程： $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

$\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ 静电场的环路定律，说明静电场的环路线积分恒等于0，即静电场是一个守恒场。

$\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = \int_{V}^{ } \rho dV = q$ 静电场的高斯定理，表明穿出任一闭合面的电位移矢量的通量等于该闭合面内的总自由电荷。

$\triangledown * \vec{E} = 0$ 静电场的环路定律的微分形式，表明电场强度的旋度处处为0，静电场是无旋场。

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$ 静电场的高斯定理的微分形式，表明电位移矢量的散度等于自由电荷体密度，静电场是有散场。

重难点分析（衔接条件）：

静电场

静电场中不同介质分界面上电场强度 $\vec{E}$ 的衔接条件是 $E_{1t} = E_{2t}$ 、 $\vec{e_{n}} * (\vec{E_{2}} - \vec{E_{1}}) = 0$

根据 $\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ ，则有

$E_{1t} \Delta l_{1} - E_{2t} \Delta l_{2} = 0$

$E_{1t} \Delta l_{1} = E_{2t} \Delta l_{2}$

分界面两侧， $\vec{E}$ 的切向分量连续

静电场中不同介质分界面上电位移矢量 $\vec{D}$ 的衔接条件是 $D_{2n} - D_{1n} = \sigma$ 、 $\vec{e_{n}} \cdot (\vec{D_{2}} - \vec{D_{1}}) = \sigma$

根据 $\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = q$

则有， $D_{2n} \Delta S - D_{1n} \Delta S = \sigma \Delta S$

$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$

分界面两侧的 $\vec{D}$ 的法向分量不连续。当 $\sigma =0$ 时， $\vec{D}$ 的法向分量连续。

考虑到在两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷（ $\sigma =0$ ），因此有 $D_{2n} = D_{1n}$

静电场中不同介质分界面上电位 $\varphi$ 的衔接条件是 $\varphi _{1} - \varphi _{2} = 0$ ，也就是 $\varphi _{1} = \varphi _{2}$

恒定电场

在静电场中定义电介质时，忽略了其微弱的导电性，视为理想介质，而在恒定电场中，介质的这种微弱的导电性，造成漏电流。称此类介质为损耗介质（非理想介质），这就反应除了物理的两重性：介电性和导电性。

损耗介质中，恒定电场的基本场量： $\vec{E}$ 、 $\vec{J}$ 、 $\vec{D}$

基本方程：

积分形式：

$\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

$\oint_{S}^{ } \vec{J} \cdot d\vec{S} = 0$

$\oint_{S}^{ } \vec{D} \cdot d\vec{S} = q$

微分形式：

$\triangledown * \vec{E} = 0$

$\triangledown \cdot \vec{J} = 0$

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

损耗介质的构成方程：

$\vec{J} = \gamma \vec{E}$

$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

损耗介质分界面上的衔接条件：

$\vec{e_{n}} * (\vec{E_{2}} - \vec{E_{1}}) = 0$

$\vec{e_{n}} \cdot (\vec{J_{2}} - \vec{J_{1}}) = 0$

$\vec{e_{n}} \cdot (\vec{D_{2}} - \vec{D_{1}}) = \sigma$

式中， $\sigma$ 是分界面上的自由电荷面密度。

重难点分析（边值问题）：

以静电场电位函数 $\varphi$ 为待求场函数的连续型边值问题的构造。

泛定方程——泊松方程和拉普拉斯方程

$\triangledown \cdot \vec{D} = \rho$

$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$

代入得到： $\triangledown \cdot (\varepsilon \vec{E} ) = \rho$

$\vec{E} = -\triangledown \varphi$

则有： $\triangledown \cdot \triangledown \varphi = -\rho /\varepsilon$

上式即为电位 $\varphi$ 的泊松方程。

式中 $\triangledown ^{2}$ 称为拉普拉斯算子

$\triangledown ^{2} \varphi = \delta ^{2}\varphi / \delta x^{2} + \delta ^{2}\varphi / \delta y^{2} + \delta ^{2}\varphi / \delta z^{2}$

由 $\triangledown^{2} \varphi = -\rho /\varepsilon$ ，可知，当场中无自由电荷分布的时候，也就是 $\rho = 0$ 的区域， $\triangledown^{2} \varphi = 0$ ，这就是电位 $\varphi$ 的拉普拉斯方程。

只有微分方程不能确定唯一解。

定解条件——边值条件（边值）

偏微分方程的定解条件是在方程定义域（场域V）的边界S上给定的边界条件（边值），通常有下列三种情况：

（只有各点电位）给定的是场域边界S上的电位值 $\varphi (\vec{r})|_{s} = f_{1}(\vec{r_{b}})$ ，式中， $\vec{r_{b}}$ 为相应边界的位矢。这类边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程合成第一类边值问题。
（只有各点电位法向导数值）给定的是场域边界S上电位的法向导数值 $(\delta \varphi (\vec{r}) / \delta n) |_{s} = f_{2}(\vec{r_{b}})$ ，称为第二类边界条件。当 $f_{2}(\vec{r_{b}})$ 取值为0的时候，称为第二类齐次边界条件。相应构成第二类边值问题。
（都有）给定的是场域边界S上的电位及其法向导数的线性组合，称为第三类边界条件，相应构成第三类边值问题。

唯一性定理——唯一解（充要条件）

镜像法

理论依据：唯一性定理

举例：

导体平板上方场域，其边值问题为：

除点电荷所在处外电位满足方程 $\triangledown^{2} \varphi = 0$ （拉普拉斯方程）
导体平板上表面及无穷远处边界 $\varphi =0$

我们假设导体平板不存在了，然后变成：

然后，我们镜像的、对称的放一个点电荷-q在平板对面：

由于点电荷-q在点电荷q的镜像位置，所以点电荷-q又被称为镜像电荷，则，该镜像系统中任一点的电位是由点电荷q和-q共同产生的。

镜像系统的上方场域，其边值问题为除点电荷所在处外电位满足方程 $\triangledown^{2} \varphi = 0$ （拉普拉斯方程），并且原导体平板上表面及无穷远处边界 $\varphi =0$

因此，点电荷q和点电荷-q在该平面上任意一点的合成电场的电位等于0

根据唯一性定理，导体上方电场可由镜像系统中的电荷q和电荷-q在上半空间共同产生的电场求得。

电轴法

通常将截面忽略不计的长直带点圆柱导线称为电轴，沿电轴电荷呈线电荷密度 $\gamma$ 分布。

讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导线间的电场问题。

两个圆柱导体所在处处电位满足方程 $\triangledown^{2} \varphi = 0$ ；
两个圆柱导体表面为等位面。

电轴法：首先，将导体拿掉，然后沿导体轴向，设置如图所示线电荷，称这两个线电荷为电轴。

两个圆柱导体所在处处电位满足方程 $\triangledown^{2} \varphi = 0$ ；
两个圆柱导体表面为等位面。 $a^{2} + b^{2} = d^{2}$

图中，

如图中，A点和B点的电势差值为 $U_{0}$

$\varphi _{A} - \varphi _{B} = U_{0}$

在A点和B点，电场强度达到最大值。

电容

$C = Q / U$ 单位：法拉（ $F$ ）

电容只与两导体的大小、形状、相互位置及周围的介质有关。

求解方法：

法一：

假设导体带电量为Q，则 $Q\rightarrow E\rightarrow U$ 再利用 $C = Q / U$ 即可求解

法二：

假设导体间电压为U，则 $U\rightarrow E\rightarrow D\rightarrow \sigma \rightarrow Q$ 再根据 $C = Q / U$ 即可求解。

$\vec{E} = Q \cdot \vec{er} / (4\pi \varepsilon _{0} r^{2})$

$U = \int_{ }^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l}$

$\vec{E} = Q \cdot \vec{er} / (4\pi \varepsilon _{0} r^{2})$

$U = \int_{ }^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = Q(b - a) /(4\pi \varepsilon _{0}ab)$

$C = Q / U = 4\pi \varepsilon _{0} ab /(b - a)$

当 $b\rightarrow \infty$ 则有 $C= 4\pi \varepsilon _{0} a$

第三章

恒定电场

基本方程

电荷守恒定律：

$\oint_{S}^{ } \vec{J_{c}} \cdot d\vec{S} = 0$

因此有（高斯定理——散度定理）：

$\int_{V}^{ } (\triangledown \cdot \vec{J}) dV = 0$

所以得到

$\triangledown \cdot \vec{J} = 0$ 基本方程之 $\vec{J}$ 的散度——恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。

再看 $\vec{E}$ 的旋度，

假设电源的电动势是 $\varepsilon$

那么，所取经过电源路径积分 $\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = \oint_{l}^{ } (\vec{E_{c}} + \vec{E_{e}}) \cdot d\vec{l} = \varepsilon$

假如所取路径积分不经过电源，则有 $\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ ，此时是一个保守场，再根据斯托克斯定律得到：

$\int_{S}^{ } (\triangledown * \vec{E}) \cdot d\vec{S} = 0$

得 $\triangledown * \vec{E} = 0$ ，恒定电场是无旋场。

恒定电场（电源外）的基本方程：

则构成方程就是一个关于 $\vec{J}$ 和 $\vec{E}$ 之间的构成方程。

$\vec{J} = \gamma \vec{E}$ （欧姆定律）

重点结论：恒定电场是无源无旋场。

——注意，上述性质只适用于电源外！！！

在电源的内部是一个有旋场！！！

上式是KCL方程，此时，我们再把 $\oint_{l}^{ } \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ 代入到回路，就可以得到KVL方程， $\sum_{j = 1}^{n} U_{j} = 0$

恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场表示。

微观与宏观的差别。

KCL——无源性

KVL——无旋性

边界条件

$\vec{E}$ 和 $\vec{J}$ 的边界条件

类比静电场，我们可以得到恒定电场。

这里是恒定电场的非电源区域

与静电场类似：恒定电场

折射定律

又因为之前的边界条件，我们可以得到 $J_{1n} = J_{2n}$ ，所以 $\frac{J_{1t} / J_{1n}}{J_{2t} / J_{2n}} = \frac{J_{1t}}{J_{2t}} = \frac{\gamma _{1} E_{1t}}{\gamma _{2} E_{2t}} = \frac{\gamma _{1}}{\gamma _{2}}$ 期间用了欧姆定律以及一次构成方程。

又由 $E_{1t} = E_{2t}$ 我们可以知道， $\varphi _{1} = \varphi _{2}$

恒定电场的边值问题

$\triangledown * \vec{E} = 0 \rightarrow \vec{E} = -\triangledown \varphi$

$\triangledown \cdot \vec{J} = 0 \rightarrow \triangledown \cdot (\gamma \vec{E}) = 0 \rightarrow \triangledown ^{2} \varphi = 0$

$\triangledown ^{2} \varphi = 0$ 恒定电场的拉普拉斯方程

无旋无源场称为调和场，调和场满足拉普拉斯方程。

拉普拉斯方程有时可以简化成： $\frac{d^{2} \varphi }{d \theta ^{2}} = 0$

此时的图可以是这样的：

此时，我们再利用一下边界条件，就可以求得 $\varphi$ 然后，根据 $\triangledown * \vec{E} = 0 \rightarrow \vec{E} = -\triangledown \varphi$ ，我们就可以求出 $\vec{E}$ 来，最后再利用构成方程，我们就可以求得 $\vec{J} = \gamma \vec{E}$ ，最后求得导电媒介中的电流 $I$ 是 $I = \int_{a}^{b} JdS = \frac{2\gamma tU}{\pi } ln\frac{b}{a }$

而电阻就等于 $R = \frac{\varphi }{I}$

题单（必做系列）

第一章

第二章

在这里需要知道的是 $\vec{E} = q/(\varepsilon S) \cdot \vec{e_{x}}$ 以及 $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$ 还有 $U = q d / (\varepsilon S) = E d$

$\sigma = \frac{4}{3} \sigma _{0}$

须知： $E = \frac{\sigma }{\varepsilon }$ ，并且有 $\sigma = E\cdot \varepsilon$

第三章