回溯法求解TSP问题（旅行商问题）

定义：旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

本提中对TSP问题，可以看作全排列问题，只不过在排列过程中，只对符合条件的数进行，那怎末判断要去的下一个城市（下一个数是否满足要求，这里就采用了限界(代价）函数，用来减少不必要的循环，也就是所谓的剪枝函数的作用）

这里的限界函数用的是屈婉玲老师的算法与设计分析中提到的方法，

代码如下：

#include <stdio.h>
#define max 100
int num ;
int g[max][max], x[max], bestx[max]; //best[]是用来存储最终的最短路径
int cl=0;
int best = max;//交换函数
void swap(int &a, int &b)
{int tem = a;a= b;b =tem;
}//界定函数，按照屈婉玲老师的算法公开课视频讲解的给出的实现，
//下界公式为 min{cl + min1 + temmin}解释一下就是当前走过的路径+下一个要找的最短路径+剩下点的到其他点的最短路径（最后这个temmin是用贪心的思想求剩下没走过城市的最路径）
//当然，贪心毕竟不是从整体最优考虑，而是从局部最优考虑，所以，在后来的寻找中，如果找到比 cl + min1 + temmin求解出来的最短路径，则可以考虑往下找，否则剪枝。
int  bound( int t)
{int min1=max ,min2=max, temmin=0;  //这里min与min2初始化一下 for(int i=t; i<=num; i++){//这里求min1 if( g[x[t-1]][x[i]] != -1 && g[x[t-1]][x[i]]  < min1){min1 =g[x[t-1]][x[i]]; //这里求要去的第t城市。选择当前到t路径最短的 }//这里求min2 for(int j =1; j<=num; j++) //贪心的思想，求剩下的路径的下界 {if( g[x[i]][x[j]]!=-1 &&  g[x[i]][x[j]]!=0  && g[x[i]][x[j]] < min2){min2 = g[x[i]][x[j]];}}temmin += min2; //这里是剩下点的最短出出路径的和的累加 }return cl+ min1 + temmin;
}//这里选择城市的方式类似于全排列问题，只不过这里加了 一个判断条件就是t与之前的城市t-1有路径，这里是有选择性的选择点（这里也叫剪枝）。
void prim(int t)
{//如果到叶节点，则表示所有城市都走过了，这个时候就保存一下最短路径以及相应的城市顺序 ，当然是满足条件就是比之前的bext还要小的路径的长度，每次取最优 if(t>num ){if(g[x[num]][1]!=-1 &&  cl + g[x[num]][1] <best) //记得还有最后回到原点 ，这里必须是有到原点的一条路径 {for(int i =1; i<=num; i++){bestx[i] =x[i];   //将走过的顺序放入best数组中 }best = cl + g[x[num]][1]; //保存加上回到原点的的路径 }}else{for(int j =t; j<=num; j++){if( g[x[t-1]][x[j]] !=-1 && (bound(t)<best)) //满足条件的选择要选的城市的编号 {swap(x[j],x[t]);cl += g[x[t-1]][x[t]]; //注意，这里不是g[x[t-1]x[j]]，j改成t，因为上面的j与t的位置的数换了。 prim(t+1);//回溯，恢复走过的。 cl -= g[x[t-1]][x[t]];swap(x[j],x[t]);}}}
}int main()
{printf("输入城市数： ");scanf("%d",&num);for(int i =1; i<=num; i++){x[i] =i; //将城市编号放入一个数组中,初始化 bestx[i] = 0;}for(int i =1; i<=num; i++){for(int j =1; j<=num; j++){scanf("%d",&g[i][j]);}} prim(2); //这里是从第一个城市出发，开始要寻找第二个要走的城市 printf("从1号城市出发，经过所有城市回到起点顺序为： "); for(int i =1; i<=num ;i++){printf("%d --> ", bestx[i]);}if(g[x[num]][1]!=-1);{printf("%d",bestx[1]); }printf("\n"); printf("\n最短路径为:  %d", best); return 0;}

程序运行如下：

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