最长递增子序列的O(NlogN)算法

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码如下:


//在非递减序列 arr[s..e]（闭区间）上二分查找第一个大于等于key的位置，如果都小于key，就返回e+1
int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key)
{int mid;if (arr[e] <= key)return e + 1;while (s < e){mid = s + (e - s) / 2;if (arr[mid] <= key)s = mid + 1;elsee = mid;}return s;
}int LIS(int d[], int n)
{int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));end[1] = d[0]; //初始化：长度为1的LIS末尾为d[0]for (i = 1; i < n; i++){int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置end[pos] = d[i];if (len < pos) //按需要更新LIS长度len = pos;}return len;
}

还原:

更新B[i]的时候，把记下来数字在原来数组中的下标也记下来（被替换的数据保留在一个后备数组中）。等到得出 B[n] 了以后，用贪心算法往前回溯，每次找出B[i-1]对应后备数组中值小于B[i]、下标小于B[i]下标、且在该后备数组中下标最大的那个。

最长递增子序列的O(NlogN)算法相关推荐

最长递增子序列O（NlogN）算法
转载出处:https://www.felix021.com/blog/read.php?1587 最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS. ...
最长递增子序列的三种算法
转载自:http://qiemengdao.iteye.com/blog/1660229 最长递增子序列问题给定一个长度为N的数组,找出一个最长的单调自增子序列(不一定连续,但是顺序不能乱).例如 ...
最长递增子序列 O(NlogN)算法
最长递增子序列 O(NlogN)算法今天回顾WOJ1398,发现了这个当时没有理解透彻的算法. 看了好久好久,现在终于想明白了. 试着把它写下来,让自己更明白. 最长递增子序列,Longest In ...
c语言最长递增子序列nlogn,十月常见算法考题、最长递增子序列，Leetcode第300题最长上升子...
十月常见算法考题.最长递增子序列,Leetcode第300题最长上升子十月常见算法考题.最长递增子序列,Leetcode第300题最长上升子序列的变种,我没见过乔丹,今天詹姆斯就是我的神! @Aut ...
动态规划算法-04最长递增子序列问题
最长递增子序列问题简述经典的动态规划问题. 问题描述给定一个序列,求解其中长度最长的递增子序列. 问题分析这种可以向下查询答案的很容易想到动态规划的解法. 要求长度为i的序列Ai={a1,a2 ...
最长递增子序列_python_算法与数据结构
周末了,实验室的网速还是不给力啊,不知道doctors都在干啥,,,最近都在做算法作业,昨天晚上看了一部电影<将爱进行到底>,刚打开电影没多久就听到了很熟悉的旋律,让我很是惊讶,这竟然就是 ...
跟着编程之美学算法——最长递增子序列（转）
之前学习了动态规划中最基本的问题,最长公共子序列,具体解法,见前前一篇博客: http://www.cnblogs.com/liyukuneed/archive/2013/05/22/3090597. ...
算法设计 - LCS 最长公共子序列最长公共子串 LIS 最长递增子序列
出处 http://segmentfault.com/blog/exploring/ 本章讲解: 1. LCS(最长公共子序列)O(n^2)的时间复杂度,O(n^2)的空间复杂度: 2. 与之类似但不 ...
c语言最长递增子序列nlogn,最长递增子序列
问题定义: 给定一个长度为N的数组,找出一个最长的单调自增子序列(不一定连续,但是顺序不能乱).例如:给定一个长度为6的数组A{5, 6, 7, 1, 2, 8},则其最长的单调递增子序列为{5,6, ...

最长递增子序列的O(NlogN)算法

最长递增子序列的O(NlogN)算法相关推荐

最新文章

热门文章