解法一（面积）

如下图所示，代表三只蜗牛的初始位置。

图1

经过很短的时间，三只蜗牛分别运动到了。因为时间很短所以在蜗牛的运动方向上，即在直线上。同理、也分别在、上。三只蜗牛的运动速度相等，所以，这样三角形也是一个等边三角形。

再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了

再经过一个很短的时间，三只蜗牛运动到了

……

也就是说：三只蜗牛在运动过程中，始终保持等边三角形的形状。同时，这个等边三角形一边在旋转一边在缩小，当缩小至一个点（重心）时三只蜗牛相遇。

现在看看三角形边长、旋转角是如何随时间变化的。

考察三角形的面积，可知：

边长为的等边三角形，其面积为

上式两边微分，可得

与的边长分别为、，所以根据上式可知

的面积计算公式有两个：

公式代入公式，可得

公式代入公式，可得

上面两个公式是在附近推导得出的，但是同样适用于。换句话说就是：在三只蜗牛的运动过程中，上面两个公式是一直都成立的。

根据公式可知三角形边长随时间变化的函数为：

上式中的表示等边三角形的初始边长，即的边长。

令可得

上式表明：运动8分钟后，三角形的边长将变为零，此时三只蜗牛相遇于点。三只蜗牛各自爬行的路程为。

中重心至各个顶点的距离为，则

上式代入公式，可得

对于蜗牛，以重心为极点，为极轴建立极坐标系。上式就是蜗牛在这个极坐标系下的轨迹方程。可见：蜗牛的运动轨迹是对数螺旋曲线。

根据上式可知蜗牛的旋转圈数为：

当时，。所以三只蜗牛转了无穷圈。

解法二（正弦定理）

参考图1，对套用正弦定理，有

对上式做进一步化简：

公式代入上式，可得

上式除以公式，可得

公式分别等价于公式。接下来的解法请参考解法一。

解法三（余弦定理）

参考图1，对套用余弦定理，有

上式略去二阶微元，可得

中，边的高为

上式的实质其实还是正弦定理。

上面两个公式相除，可得

公式分别等价于公式。接下来的解法请参考解法一。

解法四（速度分解）

参考下图，对蜗牛的速度进行分解：

图2

径向速度使两只蜗牛之间的距离增大或减小，其数值为：

上式中的负号表示两只蜗牛之间的距离随时间的增加而变小。

横向速度使等边三角形旋转，其数值为：

上面两个公式相除，可得：

公式分别等价于公式。接下来的解法请参考解法一。

解法五（极坐标）

如下图所示，考察蜗牛的运动轨迹。以重心为极点，为极轴建立极坐标系。

图3

参考图1，这个运动轨迹有一个特点，那就是运动方向与极径的夹角始终为。

把运动速度分解为径向速度（极径增大为正）与横向速度。

上式中的表示等边三角形的初始边长，即的边长。

令上式的，可求得

也就是说：三只蜗牛运动8分钟后，将相遇于点。三只蜗牛各自爬行的路程为。

径向速度与横向速度满足下式

将公式代入上式，可得

上式两边求定积分，可得

上式表明：蜗牛的运动轨迹是一个对数螺旋曲线。

根据上式可知蜗牛的旋转圈数为：

当时，。所以三只蜗牛转了无穷圈。

解法六（平面直角坐标）

参考图1，以点为原心，建立坐标系，如下图所示：

图4

参考等边三角形。以为参照物，有两个速度，把这两个速度分解为两个：

一个是平行于的纵向速度，这个速度使等边三角形的边长变小。等边三角形的边长随时间变化的函数为

一个是垂直于的横向速度，这个速度使得运动轨迹的切线方位角增大，即：

公式代入上式，可得：

假定经过时间行驶了距离，则：

根据公式可得曲率与之间的关系：

根据上式可知

根据上式可知：

坐标系内，蜗牛的运动轨迹满足下式

根据公式可知

公式代入，再代入公式，可得

上式两边求定积分，可得

可知：

这是一个什么曲线呢？对公式进行变形，可得：

表示以坐标系的原点为极点，轴为极轴，建立极坐标系。极坐标系里有一条曲线，极径随极角变化的函数为，这是一条对数螺旋曲线。

表示旋转曲线。旋转角为，即顺时针旋转曲线。

表示旋转后的曲线再平移。其实就是把极点移动至重心。

旋转、平移后的螺旋曲线，极点位于重心，极轴与重合。

既是切线方位角，又是极坐标系里的极角，其原因在于：极径与切线的夹角始终为一恒定值（）。另一个解释是：参考图1，与的夹角是极角，与的夹角是切线角，这两个角度均等于三角形相对于三角形的旋转角。

结论

1）运动8分钟后，三只蜗牛相遇；

2）三只蜗牛至相遇时，各自爬行了40cm；

3）三只蜗牛的运动轨迹是对数螺旋曲线；

4）三只蜗牛至相遇时，各自转了无穷圈。