TCP BBR的startup bbr_high_gain为什么是2/ln2？

温州皮鞋厂老板上周就一直在问这个。正好昨天和今天早上有空，加上又在雨夜，就写一波。

温州皮鞋厂老板的问题如下：

慢启动: init_cwnd×2n=cwndinit_cwnd×2n=cwndinit\_cwnd \times 2^n = cwnd
增长速率为 2n2n2^n求导=n×2n−1n×2n−1n\times 2^{n-1}. pacing_gain应该等于类似这个东西来算吧
怎么就2ln22ln2\dfrac{2}{ln2}了

其实一开始我也不知道，根本就没有注意过这个问题，能找到的资料也就是tcp_bbr.c中关于bbr_high_gain的注释：

/* We use a high_gain value of 2/ln(2) because it's the smallest pacing gain* that will allow a smoothly increasing pacing rate that will double each RTT* and send the same number of packets per RTT that an un-paced, slow-starting* Reno or CUBIC flow would:*/
static const int bbr_high_gain  = BBR_UNIT * 2885 / 1000 + 1;

另外，BBR的paper：
https://queue.acm.org/detail.cfm?id=3022184
这里面也能找到一段论述：

To handle Internet link bandwidths spanning 12 orders of magnitude, Startup implements a binary search for BtlBw by using a gain of 2/ln2 to double the sending rate while delivery rate is increasing. This discovers BtlBw in log2BDP RTTs but creates up to 2BDP excess queue in the process.

除此之外，就再也找不到别的资料了。我自己也很好奇，也跟很多人进行了讨论，甚至包括BBR的作者之一Neal Cardwell，最终以我自己的理解，整理出了这篇文章，希望能帮同样有此疑问的人解惑。

在Startup阶段，BBR的bbr_high_gain同时作用于PacingRatePacingRatePacingRate和CwndCwndCwnd两者，两者遵循同样的演化规律，即随着RTTRTTRTT轮数而指数级递增：

PacingRate=f1(rounds)=R0×2roundsPacingRate=f1(rounds)=R0×2roundsPacingRate =f_1(rounds)= R_0\times 2^{rounds}
Cwnd=f2(rounds)=init_cwnd×2roundsCwnd=f2(rounds)=init_cwnd×2roundsCwnd = f_2(rounds)=init\_cwnd\times 2^{rounds}

因此，在推导bbr_high_gain时，可以沿着两条路分别进行，我们先沿着PacingRatePacingRatePacingRate积分到CwndCwndCwnd这条路推导出CwndCwndCwnd视角的bbr_high_gain，然后再通过CwndCwndCwnd求导到PacingRatePacingRatePacingRate这条路来验算。

假设在第nnn个RTT" role="presentation">RTTRTTRTT时其PacingRatePacingRatePacingRate是R0×2nR0×2nR_0\times 2^n，那么在下一个RTTRTTRTT，即n+1n+1n+1个RTTRTTRTT时，它的PacingRatePacingRatePacingRate就会变成R0×2n+1R0×2n+1R_0\times 2^{n+1}，多了2n2n2^n个R0R0R_0，在Startup阶段，CwndCwndCwnd也遵循同样的演化规律。

为了推导简单，我们将设R0R0R_0，InitCwndInitCwndInitCwnd，RTTRTTRTT均为111来归一化，同时用自变量x" role="presentation">xxx表示以一个RTTRTTRTT为单位的轮数，上面的式子可以写成：

PacingRate=f1(x)=2xPacingRate=f1(x)=2xPacingRate = f_1(x)=2^x
Cwnd=f2(x)=2xCwnd=f2(x)=2xCwnd =f_2(x)=2^x

而我们知道，BDPBDPBDP是PacingRatePacingRatePacingRate在时间上的积分(忽略常数C)。根据我们的假设，我们是按RTTRTTRTT轮数来计数的，所以一个RTTRTTRTT单位内的BDPBDPBDP就是一个关于PacingRatePacingRatePacingRate的定积分：

按照牛顿-莱布尼兹定理则有：

BDPlastrtt=F(x)|xx−1=∫xx−12xdx=2x2ln2BDPlastrtt=F(x)|x−1x=∫x−1x2xdx=2x2ln⁡2BDP_{lastrtt}=F(x)|_{x-1}^{x}=\displaystyle\int_{x-1}^{x} 2^xdx=\dfrac{2^x}{2\ln 2}

抽掉BDPBDPBDP中的时间维度，在数值上它的意义就是CwndCwndCwnd。

设GGG为增益系数，根据间隔一个RTT" role="presentation">RTTRTTRTT时其CwndCwndCwnd的关系，则有：

F(x)|xx−1=G×f2(x−2)F(x)|x−1x=G×f2(x−2)F(x)|_{x-1}^x=G\times f_2(x-2)

化简可以得到：

2x2ln2=G×2x42x2ln⁡2=G×2x4\dfrac{2^x}{2\ln 2}=G\times \dfrac{2^x}{4}

所以，我们就得到了GGG：

G=2ln⁡2" role="presentation">G=2ln2G=2ln⁡2G=\dfrac{2}{\ln 2}

接下来，我们来沿着从CwndCwndCwnd到PacingRatePacingRatePacingRate这条路来再走一遍，看看求出的增益系数是不是同一个值。

我们知道，发送量的变化率其实就是发送速率，因此对CwndCwndCwnd关于时间求导，就可以得到速率：

g(x)=f2′(x)=(2x)′=2xln2g(x)=f2′(x)=(2x)′=2xln⁡2g(x)=f_2\prime(x)=(2^x)\prime=2^x \ln2

设αα\alpha为PacingRatePacingRatePacingRate的增益系数，则有：

g(x+1)=α×g(x)=α×2xln2g(x+1)=α×g(x)=α×2xln⁡2g(x+1)=\alpha \times g(x) = \alpha \times 2^x \ln2

经过αα\alpha演化的PacingRatePacingRatePacingRate恰好就是f1(x+1)f1(x+1)f_1(x+1)的数值：

f1(x+1)=α×g(x)=2x+1=α×2xln2f1(x+1)=α×g(x)=2x+1=α×2xln⁡2f_1(x+1) = \alpha \times g(x) = 2^{x+1} = \alpha \times 2^x \ln2

所以，我们可以求出αα\alpha的数值：

α=2ln2α=2ln⁡2\alpha = \dfrac{2}{\ln2}

可以看出，这里的PacingRatePacingRatePacingRate的增益和前面的CwndCwndCwnd增益在数值上是完全一致的，这也就是TCP BBR中的那个魔数2ln22ln⁡2\dfrac{2}{\ln2}的由来。

如果你足够细心，你会发现上面的推导中有一个破绽。比如，既然f1(x)=f2(x)f1(x)=f2(x)f_1(x)=f_2(x)，而g(x)g(x)g(x)又由f1(x)f1(x)f_1(x)求导产生，g(x)g(x)g(x)和f2(x)f2(x)f_2(x)均表示PacingRatePacingRatePacingRate时，显然而然的是：

g(x)≠f2(x)g(x)≠f2(x)g(x) \ne f_2(x)

！！
其实，函数f1f1f_1和f2f2f_2之所以这么写是因为它们在离散的RTTRTTRTT上表现得确实如此，但在实际中，速率计算，CwndCwndCwnd计算并非总是由平滑均匀的ACK事件来触发的，所以说就必须用一条光滑的曲线来尽量拟合离散的点，因此，上面的f1(x)f1(x)f_1(x)，f2(x)f2(x)f_2(x)本身就不是光滑曲线，它们和g(x)g(x)g(x)本身就不是同一条曲线。

实际上，f1(x)f1(x)f_1(x)和f2(x)f2(x)f_2(x)表示的均是折线，所要做的正是用光滑的曲线去拟合折线上那些离散的转折点，所以说，只能用增益系数代入去解方程，而不是直接让两个函数相等。

f1f1f_1和f2f2f_2的图像类似下面这样：

我们再把代表BDPBDPBDP的平滑拟合曲线F(x)F(x)F(x)以及代表PacingRatePacingRatePacingRate的平滑拟合曲线g(x)g(x)g(x)画到同一个坐标系中：

可以看得出，它们是3样不同的曲线。

不过，看起来F(x)F(x)F(x)和g(x)g(x)g(x)对离散的f1(x)f1(x)f_1(x)和f2(x)f2(x)f_2(x)拟合得并不是很理想，那为什么不直接用f(x)=2xf(x)=2xf(x)=2^x来拟合呢？它可是能完美拟合的吧：

或者，我们可以用二项式去拟合，用级数…

然而这些都不行。为什么呢？因为要考虑到计算，这里并不是在解一道数学题，而是要求出一个确定的常数作为增益系数GGG，注意，是确定的常数。如果不通过积分或者求导的方式引入一个ln⁡2" role="presentation">ln2ln⁡2\ln2因子，单纯的f(x)=2xf(x)=2xf(x)=2^x是无法得到一个确定的常数的。

这种方法，我们感到似曾相识，TCP的拥塞控制算法，从BIC到CUBIC就是采用了这种光滑的三次曲线拟合BIC二分折线的方法，其中的那些参数也可以用类似的方法求解。

除此之外，以上推导中，下面的关系是不存在的：

f1(x+1)=α×f1(x)f1(x+1)=α×f1(x)f_1(x+1)=\alpha \times f_1(x)
f2(x+1)=α×f2(x)f2(x+1)=α×f2(x)f_2(x+1)=\alpha \times f_2(x)

为什么？因为f1(x)f1(x)f_1(x)和f2(x)f2(x)f_2(x)上的点是离散的，非连续函数在无定义的域上求值没有意义。然而ACK的到达并非以RTT为单位准点的，更有可能遭遇ACK丢失，ACK聚集等无法预知的时间，因此ACK到达是任意的，所以就必须用光滑的曲线来拟合这些离散的点，从而达到比较平滑的增益效果。

简单点说，增益系数GGG的结果是针对光滑的拟合曲线而言的，即针对g(x)" role="presentation">g(x)g(x)g(x)以及F(x)F(x)F(x)的，而不是针对f1(x)f1(x)f_1(x)和f2(x)f2(x)f_2(x)的。

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