4.树和二叉树——数据结构 （严蔚敏C语言版）
4.树
4.1树的定义
树(Tree)是n(n≥0）个结点的有限集，它或为空树(n=0);或为非空树，对于非空树T:
- (1）有且仅有一个称之为根的结点;
- (2）除根结点以外的其余结点可分为m (m>0)个互不相交的有限集T1, T2,…,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树( SubTree )。
4.2树的基本术语
1.结点： 树中的一个独立单元。包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，如中的A、B、C、D等。
2. 结点的度: 结点拥有的子树数称为结点的度。例如，A的度为3,C的度为1,F的度为0。（注：度是n，就产生n条边）
3. 树的度: 树的度是树内各结点度的最大值。上图树的度为3。
4. 叶子: 度为0的结点称为叶子或终端结点。结点K、L、F、G、M、I、J都是树的叶子。
5. 非终端结点: 度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，非终端结点也称为内部结点。
6. 双亲和孩子: 结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。例如，B的双亲为A，B的孩子有E和F。
7. 兄弟: 同一个双亲的孩子之间互称兄弟。例如，H、Ⅰ和J互为兄弟。
8. 祖先: 从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，M的祖先为A、D和H。
9. 子孙: 以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如B的子孙为E、K、L和F。
10. 层次: 结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中任一结点的层次等于其双亲结点的层次加1。
11. 堂兄弟: 双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，结点G与E、F、H、I、J互为堂兄弟。
12. 树的深度: 树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图所示的树的深度为4。
13. 有序树和无序树: 如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换),则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
14. 森林: 是m ( m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以用森林和树相互递归的定义来描述树。
4.二叉树
为何要研究二叉树：
- 所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。
- 普通树(多叉树)若不转化为二叉树，则运算很难实现。
- 简单，规律性强。
4.1 二叉树的定义
二叉树： 二叉树是n(n≥O)个结点的有限集，它或者是空集(n= 0)，或者由一个根结点及两棵互不
相交的分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树特点：
- 每个结点最多有俩孩子 (二叉树中不存在度大于2的结点)。
- 子树有左右之分，其次序不能颠倒。
- 二叉树可以是空集合,根可以有空的左子树或空的右子树。
注：
- 二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念。二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树也要区分，说明它是左子树，还是右子树。
- 树当结点只有一个孩子时，就无须区分它是左还是右的次序。因此二者是不同的。这是二叉树与树的最主要的差别。
(也就是二叉树每个结点位置或者说次序都是固定的，可以是空，但是不可以说它没有位置，而树的结点位置是相对于别的结点来说的，没有别的结点时，它就无所谓左右了)，
4.2二叉树的基本形态
4.3二叉树基本操作
- PreOrderTraverse (T)
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果: 先序遍历T，对每个结点访问一次。 - InorderTraverse (T)
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果 : 中序遍历T，对每个结点访问一次。 - PostOrderTraverse (T)
初始条件: 二叉树T存在。
操作结果: 后序遍历T，对每个结点访问一次。 - CreateBiTree(&T,definition)
初始条件：definition给出二叉树T的定义。
操作结果：按definition构造二叉树T。
4.4二叉树的性质
4.4.1 性质1
- 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)。
4.4.2 性质2
- 深度为k的二叉树至多有(2^k )- 1个结点（k ≥1)。
4.4.3 性质3
- 对任何一棵二叉树T，如果其叶子数为n，度为2的结点数为n2，则n0 = n2+ 1。(n0:叶子节点)
- 总边数为B = n - 1=n2×2+n1
4.4.3.1 满二叉树
满二叉树： —棵深度为k且有力2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。
特点：
- 每一层上的结点数都是最大结点数（即每层都满)。
- 叶子节点全部在最底层对满二叉树结点位置进行编号。
- 编号规则:从根结点开始，自上而下，自左而右。每一结点位置都有元素。
4.4.3.1 完全二叉树
完全二叉树： 深度为k 的具有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
下面是不是呢
特点：
- 叶子只可能分布在层次最天的两层上。
- 对任一结点，如果其右子树的最大层次为i,则其左子树的最大层次必为i或i+1。
4.4.4性质4
具有n个结点的完全二叉树的深度为Llog2n」+ 1 。
注: Lx」:称作x的底，表示不大于x的最大整数
4.4.5 性质5
如果对一棵有n个结点的完全二叉树(深度为Llog2n」+1）的结点按层序编号(从第1层到第Llog2n」+1层，每层从左到右)，则对任一结点i (1≤i≤n)，有:
- 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲;
如果i>1，则其双亲是结点Li / 2」。 - 如果2i> n，则结点i为叶子结点，无左孩子;否则，其左孩子是结点2i。
- 如果2i+ 1 > n，则结点i无右孩子;否则，其右孩子是结点2i + 1。
4.5二叉树的存储
提要：
| 方式 | 顺序 | 链式 |
|---|---|---|
| 1 | 一维数组 | 二叉链表 |
| 2 | x | 三叉链表 |
4.5.1顺序存储
完全二叉树
非完全二叉树
4.5.2链式存储
4.5.2.1二叉链表
节点构成：
结论：
- 在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域。
- 必有2n个链域。除根结点外,每个结点有且仅有一个双亲，所以只会有n -1个结点的链域存放指针。
4.5.2.2三叉链表
节点构成：
4.6二叉树的遍历
4.6.1主要三种遍历
DLR——先（根)序遍历，
LDR——中（根)序遍历，
LRD——后 (根)序遍历。
| 先序 | 中序 | 后序 |
|---|---|---|
| (1)访问根结点;(2)先序遍历左子树;(3)先序遍历右子树。 | (1)中序遍历左子树;(2)访问根结点;(3)中序遍历右子树。 | （1）后序遍历左子树;(2)后序遍历右子树;(3)访问根结点。 |
例1：三种遍历
答案：先ABELDHMIJ
中ELBAMHIDJ
后LEBMIHJDA
例2：中缀转后缀表达式
先序: - + ax b- c d / e f
中序: a + bx c - d - e / f
后序: a bc d -×+e f / -
前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式一一对应先序，中序，后序。
4.6.2 根据遍历序列确定二叉树
由二叉树的先序序列和中序序列，或由二叉树的后序序列和中序序列可以确定唯一一棵二叉树
4.7二叉遍历的具体实现
深度优先遍历（DFS）：DLR, LDR, LRD
广度优先遍历（BFS）
4.7.1先序DLR
Status PreOrderTraverse(BiTree T){if(T==NULL) return OK;//空二叉树else{visit(T);//访问根结点 // // cout<<T->data;PreOrderTraverse(T-> lchild);//递归遍历左子树PreOrderTraverse(T-> rchild);//递归遍历右子树}
}
4.7.2中序LDR
Status InOrderTraverse(BiTree T){if(T==NULL) return OK;//空二叉树else{InOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树visit(T);//访问根结点; // cout<<T->data;InOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树}
}
4.7.3后序LRD
Status PostOrderTraverse(BiTree T){//后序if(T==NULL) return OK;else{PostOrderTraverse(T->lchild);PostOrderTraverse(T->rchild);cout<<T->data;}4.7.4中序遍历的非递归算法
void InOrderTraverse (BiTree T){//中序遍历二叉树T的非递归算法Initstack (S) ; p=T;q=new BiTNode;while(p|| !StackEmpty(S)){if(p) //p非空{Push(S,p); //根指针进栈p=p-> lchild;//根指针进栈,遍历左子树}else{ //p为空Pop(S,q); //退栈cout<<q- >data; //访问根结点p=q-> rchild; //遍历右子树}}
}4.7.5广度优先遍历
层序遍历： 对于一颗二叉树，从根结点开始，按从上到下、从左到右的顺序;访问每一个结点。(注：用队列存储元素)
步骤：
- 根节点入队；
- 根节点的孩子入队；
- 一个根节点出队；
- 这个根节点的左右孩子出队。
4.8二叉树的建立
4.8.1先序遍历建立二叉树的二叉链表
void CreateBiTree (BiTree &T )
{//按先序次序输人二叉树中结点的值(一个字符),创建二叉链表表示的二叉树Tcin>>ch;if(ch=='#') T=NULL;//递归结束，建空树else//递归创建二叉树{T=new BiTNode; //生成根结点T-> data=ch; //根结点数据域置为chCreateBiTree (T-> lchild) ;//递归创建左子树CreateBiTree (T-> rchild); //递归创建右子树街小}
}4.8.2复制二叉树
先序遍历的思想
void Copy (BiTree T, BiTree . &NewT){//复制一棵和T完全相同的二叉树if (T==NULL)//如果是空树，递归结束{NewT=NULL;return 0;}else{NewT=new BiTNode;NewT-> data=T-> data;//复制根结点Copy (T-> lchild, NewT-> lchild) ;//递归复制左子树Copy (T-> rchild, NewT-> rchild) ;//递归复制右子树}
}4.8.3计算二叉树的深度
后序遍历的思想
int Depth(BiTree T)
{//计算二叉树T的深度if (T==NULL) return 0;//如果是空树，深度为0，递归结束else{m=Depth (T->lchi1d) ;//递归计算左子树的深度记为m butol叫_n=Depth (T->rchild) ;//递归计算右子树的深度记为nif (m>n) return (m+1) ;//二叉树的深度为m与n的较大者加1else return (n+1);}
}
4.8.4计算二叉树中节点个数
int NodeCount (BiTree T){//统计二叉树T中结点的个数if (T==NULL) return 0;//如果是空树，则结点个数为0,递归结束else return NodeCount (T->lchild) +NodeCount (T->rchild) +1;//否则结点个数为左子树的结点个数+右子树的结点个数+1
}
4.9线索二叉树
p128
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