概论_第3章_正态分布的重要结论__正态分布与标准正态分布关系

2024-04-02 15:27:03

在两个随机变量的函数这一章节，会涉及到正态分布。

正态分布有若干重要的结论，我们要牢记！

一.

二. 若X, Y相互独立， X~N( $\mu_1 , \sigma_1^2$ ), Y~N( $\mu_2, \sigma_2^2$ ), 则

aX+bY+c ~ N( ${\color{Blue} a\mu_1+b\mu_2+c , a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2 }$ ) . 特别注意 $\sigma^2$ 相加后，不用加c

注意以下推理：

1， X 服从正态分布， Y 服从正态分布， X+Y 不一定服从正态分布

举例： Y= -X, 则X+Y=0, 就不是正态分布；

只能说， -X也是正态分布。

~~~~~

一

标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为 φ(x) 和 Φ(x)。

1. φ(x) 在x=0处取得最大值

2. 通常称 Φ(x)为标准正态分布函数，它有下列性质：

Φ(x) + Φ(-x) = 1；
Φ(0) = 0.5

正态分布的分布函数F(x) 与标准正态分布函数 Φ(x)的关系为

1. F(x) =

2. P{a<x≤b} =

3. P{x>a} = P{x≥a} = 1 —

特别强调：利用 Φ(x) 可进行一般的正态分布的有关计算，虽然它是标准正态分布的分布函数。

二光说不练假把式，看例题： 2013.4 真题

题1. 某次考试成绩X 服从正态分布N(75, 225)(单位：分)，（1）求此次考试的及格率 P {X $\geqslant$ 60} 和优秀率P {X $\geqslant$ 90}; (2) 考试成绩至少高于多少分排名前 50%? (附 $\Phi$ (1)= 0. 8413)

解：

（1）由题意，已知 $\mu$ = 75， $\sigma$ =15，

此次考试的及格率为 P{X $\geqslant$ 60} = 1 - ${\color{Blue} \Phi (\frac{60-75}{15}) = 1- \Phi (-1) = \Phi (1) = 0.8413}$ ,

此次考试的优秀率为 P{X $\geqslant$ 90} = ${\color{Blue} 1- \Phi (\frac{90-75}{15})= 1- \Phi (1) = 0.1587 = 15.87%}.$

(2). 设考试成绩至少高于x 分能排名前 50%，

P{X $\geqslant$ x} = ${\color{Blue} 1 - \Phi (\frac{x-75}{15}) = 0.5},$ 所以 x = 75.

即考试成绩至少高于 75 分能排在前 50%。

总结，在正态分布中，注意 ${\color{Red} \Phi(\frac{x-\mu }{\sigma}) }$ 公式的运用。

题2 已知X~N(-3, 1), Y~N(2, 1), 且X与Y相互独立， Z = X-2Y+7, 则Z ~ ________________.

解：由本文开头提到的结论二，易得Z的 ${\color{Blue} \mu = a\mu_1+b\mu_2+c = 1 *(-3)+(-2)*2+7 = 0}$ ,

Z的 ${\color{Blue} \sigma^2 = a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+c = 1*1+(-2)^2*1 = 5 }$ , 所以Z~N(0, 5).

题3 设X~N(3, 4), Y~N(1,1), Z~N(0,1), X, Y, Z相互独立，求X + 2Y + 3Z的分布。

解：由题意，知X+2Y+3Z 服从正态分布， X+2Y+3Z的 ${\color{Blue} \mu = 1*3+2*1+3*0 = 5,}$

X+2Y+3Z的 ${\color{Blue} \sigma= 1*4 + 4*1 + 9*1 = 17 }$

所以 X+2Y+3Z ~N(5, 17)。

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