此篇为第⑤篇，多目标跟踪系列文章：
基础demor入门①②；公式推导③④；深入分析初始化参数的影响⑤；
① Matlab Kalman滤波例子——小球跟踪解析：matlab官方例子，单目标跟踪。匀速模型和匀加速模型
②Matlab Kalman Filter based Multiple object Tracking 官方例子多目标跟踪_hello world-CSDN博客matlab官方例子，多目标跟踪。注意有匈牙利轨迹分配算法，且其中的距离计算公式为观测与预测的马氏距离，这个来源于1987年的作者的著作中。
③kalman滤波——公式推导_hello world-CSDN博客_卡尔曼滤波递推公式
理解马氏距离的公式！理解残差和残差协方差！
④多目标跟踪——阶段性进展_hello world-CSDN博客_多目标跟踪多目标综述、Kalman滤波公式推导
⑤kalman简单例子——初始化参数对kalman性能的影响_hello world-CSDN博客
⑥多目标跟踪中的目标是否静止判断_hello world-CSDN博客判断是否静止，如何计算速度
CheckStatic代码原理解析，数学公式推导。
其它优秀的博客参考：
⑦多目标跟踪（MOT）入门 - 知乎比较好的多目标MOT综述！
⑧《Towards Real-Time Multi-Object Tracking》论文翻译 - 知乎
⑨ 视频轨迹跟踪分析——他山之石_hello world-CSDN博客

一、简单功能实现

一维信号的，匀速运动，位移预测。有观测Yn+1(S)。状态为Posx和vx。有过程噪声Vn，观测噪声Wn。具体数学模型如下：

代码来源：卡尔曼滤波_周先森爱吃素的博客-CSDN博客_卡尔曼滤波的步骤

注意：第34行和第35行的代码区别。34行为矩阵点乘，不是矩阵乘法。

第一个为点乘，第二个为矩阵乘法。

    # p_predict = f * p * f.T + qp_predict = (f.dot(p)).dot(f.T) + q

1.1 代码如下：

"""
Author: Zhou Chen
Date: 2020/3/27
Desc: 使用卡尔曼滤波进行状态预测
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('fivethirtyeight')# 创建位置观测矩阵，表示0-99的位移
z_observed = np.arange(100)
# 创建高斯噪声矩阵np.random.seed(0)
z_noise = np.random.normal(0, 1, 100)
z = z_observed + z_noise
# 创建初始状态矩阵Xn|n
x = np.array([[0, ], [0, ]])
# 创建初始状态协方差矩阵P，这里的1也可以是一个较为合适的较大数字 Pn|n
p = np.array([[1, 0], [0, 1]])
# 创建状态转移矩阵，采样频率为1秒，所以△t为1 Fn transition
f = np.array([[1, 1], [0, 1]])
# 创建状态转移协方差矩阵，协方差较小  Qn
q = np.array([[1e-6, 0], [0, 1e-6]])
# 创建观测矩阵 Hn
h = np.mat([1, 0])
# 创建观测噪声的协方差矩阵 Rn
r = np.mat([1])for i in range(100):# 迭代，计算5大步骤x_predict = f * x# p_predict = f * p * f.T + qp_predict = (f.dot(p)).dot(f.T) + qkalman = (p_predict * h.T) / (h * p_predict * h.T + r)x = x_predict + kalman * (z[i] - h * x_predict)p = (np.eye(2) - kalman * h) * p_predictplt.plot(x[0, 0], x[1, 0], 'bo')plt.xlabel("location")
plt.ylabel("speed")
plt.savefig("rst.png")
plt.show()

二、残差分析

此处的：X=（posx, Vx）一维情况，x的位置，x方向的速度。

观测 vx=1. Yn+1 = x + vx * Δt + noise
状态 X=(posx, vx)
初始化：Pn|n, Xn|n，Hn, Fn, Qn=1e-6, Rn=1

从上图可以看出：
① kalman校正的（蓝色点）更加接近真实值。这也是观测越来越权重小的表现
②观测Yn+1(绿色点) 由于观测误差Rn=1，值太大了。所以观测误差较大
③速度的估计情况（红色点）速度的估计误差要远小于位移的估计误差。
因为速度的协方差更小，而位移的观测协方差较大一些。

2.1 Pn|n误差协方差的变化情况

Pn|n 残差协方差的变化情况。位置残差 >> 速度残差

观测噪声协方差为E(WnWn^T)=1，>>> 过程噪声1e-6。意味着观测十分不准。
可以调节观测噪声协方差 MeasurementNoiseCov的值，确定观测到底准不准，来调节收敛速度？

$P_{n+1|n+1}=\begin{bmatrix} {\sigma_x}^2 & {\color{Red} E(\sigma_x \sigma_{v_x})}\\ {\color{Red} E(\sigma_x \sigma_{v_x})} & {\sigma_{v_x}}^ 2 \end{bmatrix}$ ，对角线上值的变化情况，反对角线上的位置的值是相同的，在上述表格中可以看出来。所以Pn+1|n+1是实对称矩阵的。

位移残差的协方差是在不断减小的，速度残差的协方差也在减小。但是位移比速度的协方差大一些

原因：位移残差 >> 速度残差的原因。

2.2 增益的变化情况

2.3 初始化分析

---------------------------

三. 参数改变

3.1 将观测噪声变小

观测噪声减少之后，kalman收敛速度大大加快！！！

z_noise = np.random.normal(0, 0.1, 100)
r = np.mat([0.1])

3.2 状态噪声Qn变大

将Qn变为[1e-3,0;0 1e-3]，Rn=1。Vn~N(0,Qn)，这样Vn的范围就为：小数点后两位波动

问题:为什么Kxv=0速度增益为0了，而速度预测还是震荡状态？

v=v预测+kvx*观测。kvx=0，那就只有预测就是不准的。
x就是不准的。不准就是：Vn的原因，就是状态噪声导致的。Vn在小数点后两位波动，那么得到的速度v就一直在速度1上加减一个Vn，所以就是上面所示的抖动状态！！！！！ 破案了

3.3 为什么Kvx增益部分为0，怎么着都会为0

这是一个很有意思的问题！！！！！！

上面的代码部分：x_predict=2×1矩阵，kalman增益2×1，但是h是1×2，h*x_predict=1×2 * 2×1=1×1，所以是一个数。然后kalman×数=2×1，那么x=(posx, vx），怎么就加上了观测z[i]呢！！！！！！

其实是这样的！！！！最后的kalman增益（Kx, Kvx）的第二项Kvx会迭代为0，v=常数了，所以速度会迭代到1。所以这个公式是完全没有问题的！！！！！！！！！不用怀疑Kalman*常数的问题！！！！

四. 一些问题思考

即使观测噪声很大，E(WnWn^T)=1，过程噪声1e-6，仍然可以实现收敛后，完全依赖于kalman校正。不用太担心依赖于观测。参考上方的图5

如果状态噪声比较大的话，Qn比较大。就会影响K的值，kalman校正的结果的权重变小。观测的权重会上升。Qn变大，K会变大。

Rn变大，收敛慢了。参考上面图8
Qn较小，就算观测Rn变大。最后都会依赖于预测。只不过收敛的速度变慢了。

4.1 如果速度过快怎么办？

之前v=1，相对于Δt=1，现在v=2，看一下有什么不同？

① 速度的收敛速度，变化不大！

② 差别在于：达到收敛需要的数据条数是一样的，导致速度快的，收敛需要的时间久一些！

4.2 怎么加快收敛？尽快的让预测更准？

① 减少观测噪声——让每一次的观测尽可能准确

4.3 如果噪声估计和实际观测不符会导致什么结果？

① 若实际观测噪声很大，但是估计的噪声协方差小了。会导致怎样的后果？
如下面代码所示：观测噪声为5，但估计噪声协方差为1

z_noise = np.random.normal(0, 5, 100)
r = np.mat([1])

噪声估计过小，影响不是太大！除了Pn|n错误估计的太低了。对posx和vx的估计影响不是很大

② 噪声估计过小，影响也很小

测试代码如下：

"""
Author: Zhou Chen
Date: 2020/3/27
Desc: 使用卡尔曼滤波进行状态预测
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.style.use('fivethirtyeight')vx = 2
# 创建位置观测矩阵，表示0-99的位移
z_observed = np.arange(0, 200, vx)  # 观测 vx=1. Yn+1 = x + vx * Δt + noise
# 创建高斯噪声矩阵np.random.seed(0)
z_noise = np.random.normal(0, 1, 100)
z = z_observed + z_noise  # 观测
# 创建初始状态矩阵Xn|n=[posx, vx]
x = np.array([[0, ], [0, ]])
# 创建初始状态协方差矩阵P，这里的1也可以是一个较为合适的较大数字 Pn|n
p = np.array([[1, 0], [0, 1]])  # Pn|n=[resx,0;0 resVx]
# 创建状态转移矩阵，采样频率为1秒，所以△t为1 Fn transition
f = np.array([[1, 1], [0, 1]])
# 创建状态转移协方差矩阵，协方差较小  Qn=[σx^2 0;0 σvx^2]
q = np.array([[1e-6, 0], [0, 1e-6]])
# 创建观测矩阵 Hn
h = np.mat([1, 0])
# 创建观测噪声的协方差矩阵 Rn = E(WnWn^T)=E(z_noise),normal(0,1)均值为0，方差为1
r = np.mat([5])plt.figure(figsize=(12,8))for i in range(100):# 迭代，计算5大步骤x_predict = f * x# p_predict = f * p * f.T + qp_predict = (f.dot(p)).dot(f.T) + qkalman = (p_predict * h.T) / (h * p_predict * h.T + r)x = x_predict + kalman * (z[i] - h * x_predict)p = (np.eye(2) - kalman * h) * p_predictax1 = plt.subplot(2,2,1)# x[0,0]为预测位置，posx，x[1,0]为vxplt.plot(z_observed[i], x[1, 0], 'bo', linewidth=1.0)# 这里的真是画图应该为：(t, posx, posx-gt) (t, vx, vx-gt=1)# (t, Pn+1|n=1残差变化情况)  (t, Kn+1)增益依赖Yn+1观测的变化情况if i == 0:p_stack = pk_stack = kalmanx_pos = x[0, 0]x_speed = x[1, 0]else:p_stack = np.hstack((p_stack, p))k_stack = np.hstack((k_stack, kalman))x_pos = np.vstack((x_pos, x[0, 0]))x_speed = np.vstack((x_speed, x[1, 0]))# 平滑滤波对当前进行滤波
Filter_wid = 11
smooth_res = np.zeros(100)
for i in range(Filter_wid+1,100):tmpSum = 0for j in range(i - Filter_wid, i):tmpSum = tmpSum + z[j]smooth_res[i-1-5] = tmpSum / Filter_widplt.xlabel("location")
plt.ylabel("correct speed")
plt.title("correct speed $X_{V_x}$")
plt.legend()
# plt.savefig("rst.png")# plt.figure()
# plt.plot(z_observed, x_pos, 'o', color='blue', label='kalman correcnt')
# plt.plot(z_observed, z_observed, 'x', color='green', label='posx ground truth')
# plt.legend()
# plt.show()ax2 = plt.subplot(2, 2, 3)
# 这个就是预测，没毛病
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100) - z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z - z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.plot(z_observed, smooth_res - z_observed, 'o', color='yellow', label='smooth filter')
plt.ylim(-8, 3)
plt.legend()
# 设置坐标轴范围
# plt.show()t = np.arange(100)
ax3 = plt.subplot(2, 2, 2)
plt.title("$P_{n+1|n+1}$")
plt.ylim(0,1)
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[0, ::2]).reshape(100), 'go', label='${\sigma_{Resx}}^2$')
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[1, 1::2]).reshape(100), 'bo', label='${\sigma_{Res_{Vx}}}^2$')
plt.legend()
# plt.show()# plt.figure()
ax4 = plt.subplot(2, 2, 4)
plt.title("$K_{n+1|n+1}$")
plt.ylim(0,1)
plt.plot(z_observed, np.array(k_stack[0, ]).reshape(100), 'go', label='${\sigma_{Resx}}^2$')
plt.plot(z_observed, np.array(k_stack[1, ]).reshape(100), 'bo', label='${\sigma_{Res_{Vx}}}^2$')
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100) - z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z - z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.plot(z_observed, x_speed.reshape(100) - vx, 'ro', label='$Xv_{n+1|n+1} - Xv_{real}=correct speed error$')
plt.ylim(-5, 5)
plt.legend()
plt.show()a = a +1

4.4 如果出现了误匹配

可能的解决方法：

判断检测detection与上一帧预测的位置的欧氏距离。以及，此帧预测与上帧估计的距离。
如果这两个距离相差很大，那说明观测出现了很大问题。至于为什么会匹配，肯定是因为匹配除了问题。用于判断匹配的结果到底是否正确！！！
剔除匹配，此帧还是按照预测来！！！在match中再去判断一下是否匹配，可以筛选出很离谱的匹配。甚至可以通过方向来判断，角度；也可以通过速度来判断，是否突然加速了那么多！！！
1. metric：欧氏距离、速度、方向；进一步剔除误匹配的
2. 漏匹配的靠：预测维持！

出现误匹配，就是偶尔有Yn+1的观测值非常离谱。

z[:10] += 5 前11个数据出现了变化。 所以，相当于是，速度出现了突变！！！

速度估计出现了较大的偏差，后面慢慢修正回来。蓝色的曲线的误差也很大。
所以最开始有了错误的观测，模型收敛阶段影响较大，要较长的时间才能收敛到正确的值上。

①若某一个数值，如第10个数值出现了偏差，只是对最初的预测有影响。但是长期还是不变的。

②若第50个数据出现了小偏差。已经收敛了，影响更不大了

③ 若第50个数据出现了巨大偏差。那么相当于是速度突变了。就会产生巨大影响

如果一旦允许了错误的数据匹配，产生的影响将是较大的。

4.5 低帧率的情况下，增加Δt=2

Δt从1，到2，到4。 P,K的值变高了。

-------------------------------------------

五. 代码如下：

"""
Author: Zhou Chen
Date: 2020/3/27
Desc: 使用卡尔曼滤波进行状态预测
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('fivethirtyeight')# 创建位置观测矩阵，表示0-99的位移
z_observed = np.arange(100)    # 观测 vx=1. Yn+1 = x + vx * Δt + noise
# 创建高斯噪声矩阵np.random.seed(0)
z_noise = np.random.normal(0, 1, 100)
z = z_observed + z_noise        # 观测
# 创建初始状态矩阵Xn|n=[posx, vx]
x = np.array([[0, ], [0, ]])
# 创建初始状态协方差矩阵P，这里的1也可以是一个较为合适的较大数字 Pn|n
p = np.array([[1, 0], [0, 1]])  # Pn|n=[resx,0;0 resVx]
# 创建状态转移矩阵，采样频率为1秒，所以△t为1 Fn transition
f = np.array([[1, 1], [0, 1]])
# 创建状态转移协方差矩阵，协方差较小  Qn=[σx^2 0;0 σvx^2]
q = np.array([[1e-6, 0], [0, 1e-6]])
# 创建观测矩阵 Hn
h = np.mat([1, 0])
# 创建观测噪声的协方差矩阵 Rn = E(WnWn^T)=E(z_noise),normal(0,1)均值为0，方差为1
r = np.mat([1])for i in range(100):# 迭代，计算5大步骤x_predict = f * x# p_predict = f * p * f.T + qp_predict = (f.dot(p)).dot(f.T) + qkalman = (p_predict * h.T) / (h * p_predict * h.T + r)x = x_predict + kalman * (z[i] - h * x_predict)p = (np.eye(2) - kalman * h) * p_predict# x[0,0]为预测位置，posx，x[1,0]为vxplt.plot(z_observed[i], x[1, 0], 'bo',linewidth=1.0)# 这里的真是画图应该为：(t, posx, posx-gt) (t, vx, vx-gt=1)# (t, Pn+1|n=1残差变化情况)  (t, Kn+1)增益依赖Yn+1观测的变化情况if i==0:p_stack = pk_stack = kalmanx_pos = x[0, 0]x_speed = x[1, 0]else:p_stack = np.hstack((p_stack, p))k_stack = np.hstack((k_stack, kalman))x_pos = np.vstack((x_pos, x[0,0]))x_speed = np.vstack((x_speed, x[1,0]))plt.xlabel("location")
plt.ylabel("correct speed")
plt.title("correct speed $X_{V_x}$")
plt.legend()
# plt.savefig("rst.png")
plt.show()
plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos, 'o', color='blue', label='kalman correcnt')
plt.plot(z_observed, z_observed, 'x', color='green',label='posx ground truth')
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100)-z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z-z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.ylim(-5,5)
plt.legend()
# 设置坐标轴范围
plt.show()plt.figure()
plt.title("$P_{n+1|n+1}$")
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[0,::2]).reshape(100), 'go', label='${\sigma_{Resx}}^2$')
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[1,1::2]).reshape(100), 'bo', label='${\sigma_{Res_{Vx}}}^2$')
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100)-z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z-z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.plot(z_observed, x_speed.reshape(100) - 1, 'ro', label='$Xv_{n+1|n+1} - Xv_{real}=correct speed error$')
plt.ylim(-5,5)
plt.legend()
plt.show()a = a + 1

六、其他kalman滤波的简单例子

6.1 kalman滤波与平滑滤波

文章来源：卡尔曼滤波的理解以及参数调整_张京林要加油的技术专栏-CSDN博客_卡尔曼滤波参数

最主要是将kalman与平滑滤波（窗口平均）作对比

"""
Author: Zhou Chen
Date: 2020/3/27
Desc: 使用卡尔曼滤波进行状态预测
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.style.use('fivethirtyeight')# 创建位置观测矩阵，表示0-99的位移
z_observed = np.arange(100)  # 观测 vx=1. Yn+1 = x + vx * Δt + noise
# 创建高斯噪声矩阵np.random.seed(0)
z_noise = np.random.normal(0, 1, 100)
z = z_observed + z_noise  # 观测
# 创建初始状态矩阵Xn|n=[posx, vx]
x = np.array([[0, ], [0, ]])
# 创建初始状态协方差矩阵P，这里的1也可以是一个较为合适的较大数字 Pn|n
p = np.array([[1, 0], [0, 1]])  # Pn|n=[resx,0;0 resVx]
# 创建状态转移矩阵，采样频率为1秒，所以△t为1 Fn transition
f = np.array([[1, 1], [0, 1]])
# 创建状态转移协方差矩阵，协方差较小  Qn=[σx^2 0;0 σvx^2]
q = np.array([[1e-6, 0], [0, 1e-6]])
# 创建观测矩阵 Hn
h = np.mat([1, 0])
# 创建观测噪声的协方差矩阵 Rn = E(WnWn^T)=E(z_noise),normal(0,1)均值为0，方差为1
r = np.mat([1])for i in range(100):# 迭代，计算5大步骤x_predict = f * x# p_predict = f * p * f.T + qp_predict = (f.dot(p)).dot(f.T) + qkalman = (p_predict * h.T) / (h * p_predict * h.T + r)x = x_predict + kalman * (z[i] - h * x_predict)p = (np.eye(2) - kalman * h) * p_predict# x[0,0]为预测位置，posx，x[1,0]为vxplt.plot(z_observed[i], x[1, 0], 'bo', linewidth=1.0)# 这里的真是画图应该为：(t, posx, posx-gt) (t, vx, vx-gt=1)# (t, Pn+1|n=1残差变化情况)  (t, Kn+1)增益依赖Yn+1观测的变化情况if i == 0:p_stack = pk_stack = kalmanx_pos = x[0, 0]x_speed = x[1, 0]else:p_stack = np.hstack((p_stack, p))k_stack = np.hstack((k_stack, kalman))x_pos = np.vstack((x_pos, x[0, 0]))x_speed = np.vstack((x_speed, x[1, 0]))# 平滑滤波做对比
Filter_wid = 11
smooth_res = np.zeros(100)
for i in range(Filter_wid+1,100):tmpSum = 0for j in range(i - Filter_wid, i):tmpSum = tmpSum + z[j]smooth_res[i-1-5] = tmpSum / Filter_widplt.xlabel("location")
plt.ylabel("correct speed")
plt.title("correct speed $X_{V_x}$")
plt.legend()
# plt.savefig("rst.png")
plt.show()
plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos, 'o', color='blue', label='kalman correcnt')
plt.plot(z_observed, z_observed, 'x', color='green', label='posx ground truth')
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100) - z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z - z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.plot(z_observed, smooth_res - z_observed, 'o', color='yellow', label='smooth filter')
plt.ylim(-10, 10)
plt.legend()
# 设置坐标轴范围
plt.show()plt.figure()
plt.title("$P_{n+1|n+1}$")
plt.ylim(0,1)
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[0, ::2]).reshape(100), 'go', label='${\sigma_{Resx}}^2$')
plt.plot(z_observed, np.array(p_stack[1, 1::2]).reshape(100), 'bo', label='${\sigma_{Res_{Vx}}}^2$')
plt.legend()
plt.show()plt.figure()
plt.plot(z_observed, x_pos.reshape(100) - z_observed, 'o', color='blue', label='$X_{n+1|n+1}-X_{real}=Res$')
plt.plot(z_observed, z - z_observed, 'o', color='green', label='$Y_{n+1}-X_{real}=Observ_error$')
plt.plot(z_observed, x_speed.reshape(100) - 1, 'ro', label='$Xv_{n+1|n+1} - Xv_{real}=correct speed error$')
plt.ylim(-5, 5)
plt.legend()
plt.show()a = a +1

注意，没错的：kalman的就是预测，不用再左移或者右移的！！！！！！！！！

平滑滤波只能是滤波，不能预测！！！！！！！！！他本来就要利用后面的，只能做滤波的

6.2 opencv kalman例子，鼠标跟踪程序等

学习OpenCV2——卡尔曼滤波(KalmanFilter)详解_Markala的博客-CSDN博客_kalmanfilter opencv

之前看过鼠标的例子的。

预测 & 观测 & 校正后的对比！

7. 优化失败的问题

在初始化阶段，目标就随意的切换速度，进行速度突变。违背了kalman模型。
因为数据关联成了影响轨迹是否成功的关键因素！！！

博客中引用的视频数据，多目标跟踪中的失败案例-C++文档类资源-CSDN下载

由于此处kalman的速度还在初始化阶段，并不是依赖于kalman的预测来做的分配。
而是根据distance metric来进行的强行分配！！！！

所以企图用kalman的速度来进行判断，是徒劳的。

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此内容摘自 ORACLE 11gR2性能调整与优化一书,做为一个自己的笔记 1 MEMORY_TARGET : 这个初始化参数设定分配给PGA和SGA 的所有内存(11g 新参数).设置了MEMORY ...

kalman简单例子——初始化参数对kalman性能的影响