数学建模（五）：图与网络模型

&1.概论
历史上第一篇图论论文，是欧拉提出著名的“哥尼斯堡七桥问题”，那个图就是这样的：
图论中的图，实际上表达的是某些指定事物以及它们之间的联系。比如“七桥问题问题中”，四个点代表的就是普莱格尔河的两个岛以及河的两岸。我们先通过一些例子来感受一下网络优化问题。
例1 最短路问题（SPP-shortest path problem)
一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。
例2 公路连接问题
某地区有若干个主要城市，先准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小?
例3 指派问题（assignment problem）
一家公司经理准备安排N名员工去完成N项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大?
例4 中国邮递员问题(CPP-chinese postman problem)
一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他(她)设计一条最短的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局)?由于这一问题是我国管梅谷教授 1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
例5的旅行商问题（TSP-traveling salesman problem）和例6的运输问题（transportation problem）略去。我们可以看到这些问题实际上都可以归于最优化问题，同时这些问题的模型都可以用图与网络的形式直观表达，与图和网络相关的最优化问题，我们称为网络最优化问题。多数的网络最优化问题都是以流（flow）作为研究对象，因此这样的问题又被称为网络流或者是网络流规划等。
下面首先介绍图与网络的一些基本概念。
&2.图与网络的基本概念
1）无向图
⎡顶点集⎦或「节点集」（vertex set or node set）：由平面上所有的点作为元素组成的集合，这些点称为「顶点」或「节点」。
用数学形式表达，即V(G)={v₁,v₂,…,v_n}，V(G)为顶点，v_i为顶点或节点。
「边集」（edge set）：连接顶点与顶点之间的边作为元素组成的集合。数学形式上的表达为E(G)={e₁,e₂,…,e_m}，其中的e_i世界上是V(G)中的两个不同元素的无序对，可以写作e_i=v_jv_k=v_kv_j=(v_j,v_k)=(v_kv_j)，称为这个图从v_j到v_k的一条边。
「无向图」（undirected graph）：是由V(G)和E(G)组合起来的二元组，记作G=(V(G),E(G))。
「相邻」（adjacent）：当e_k=v_iv_j时，我们称v_i,v_j是e_k的端点，并且这两个点相邻；边e_k称为和它的两个端点关联（incident）。如果说两条边在图G中相邻，那么这两条边在图G至少有一个公共端点。
「赋权无向图」或「无向网络」（undirected network）：在边上赋予权值的无向图被称为赋权无向图或无向网络。
「有限图」：指顶点集和边集都是有限集合的图。图G的顶点数用符号|V|或者是

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