前向传播算法(Forward propagation)与反向传播算法(Back propagation)

虽然学深度学习有一段时间了，但是对于一些算法的具体实现还是模糊不清，用了很久也不是很了解。因此特意先对深度学习中的相关基础概念做一下总结。先看看前向传播算法(Forward propagation)与反向传播算法(Back propagation)。

1.前向传播

如图所示，这里讲得已经很清楚了，前向传播的思想比较简单。
举个例子，假设上一层结点i,j,k,…等一些结点与本层的结点w有连接，那么结点w的值怎么算呢？就是通过上一层的i,j,k等结点以及对应的连接权值进行加权和运算，最终结果再加上一个偏置项（图中为了简单省略了），最后在通过一个非线性函数（即激活函数），如ReLu，sigmoid等函数，最后得到的结果就是本层结点w的输出。
最终不断的通过这种方法一层层的运算，得到输出层结果。

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对于前向传播来说，不管维度多高，其过程都可以用如下公式表示：

a2=σ(z2)=σ(a1∗W2+b2)a2=σ(z2)=σ(a1∗W2+b2)

的值。

大家也许已经注意到，这样做是十分冗余的，因为很多路径被重复访问了。比如上图中，a-c-e和b-c-e就都走了路径c-e。对于权值动则数万的深度模型中的神经网络，这样的冗余所导致的计算量是相当大的。

同样是利用链式法则，BP算法则机智地避开了这种冗余，它对于每一个路径只访问一次就能求顶点对所有下层节点的偏导值。
正如反向传播(BP)算法的名字说的那样，BP算法是反向(自上往下)来寻找路径的。

从最上层的节点e开始，初始值为1，以层为单位进行处理。对于e的下一层的所有子节点，将1乘以e到某个节点路径上的偏导值，并将结果“堆放”在该子节点中。等e所在的层按照这样传播完毕后，第二层的每一个节点都“堆放”些值，然后我们针对每个节点，把它里面所有“堆放”的值求和，就得到了顶点e对该节点的偏导。然后将这些第二层的节点各自作为起始顶点，初始值设为顶点e对它们的偏导值，以”层”为单位重复上述传播过程，即可求出顶点e对每一层节点的偏导数。

以上图为例，节点c接受e发送的1*2并堆放起来，节点d接受e发送的1*3并堆放起来，至此第二层完毕，求出各节点总堆放量并继续向下一层发送。节点c向a发送2*1并对堆放起来，节点c向b发送2*1并堆放起来，节点d向b发送3*1并堆放起来，至此第三层完毕，节点a堆放起来的量为2，节点b堆放起来的量为2*1+3*1=5, 即顶点e对b的偏导数为5.

举个不太恰当的例子，如果把上图中的箭头表示欠钱的关系，即c→e表示e欠c的钱。以a, b为例，直接计算e对它们俩的偏导相当于a, b各自去讨薪。a向c讨薪，c说e欠我钱，你向他要。于是a又跨过c去找e。b先向c讨薪，同样又转向e，b又向d讨薪，再次转向e。可以看到，追款之路，充满艰辛，而且还有重复，即a, b 都从c转向e。

而BP算法就是主动还款。e把所欠之钱还给c，d。c，d收到钱，乐呵地把钱转发给了a，b，皆大欢喜。

3.反向传播具体计算过程推导

为了方便起见，这里我定义了三层网络，输入层（第0层），隐藏层（第1层），输出层（第二层）。并且每个结点没有偏置（有偏置原理完全一样），激活函数为sigmod函数（不同的激活函数，求导不同），符号说明如下：

对应网络如下：

其中对应的矩阵表示如下

首先我们先走一遍正向传播，公式与相应的数据对应如下：

那么：

同理可以得到：

那么最终的损失为

，我们当然是希望这个值越小越好。这也是我们为什么要进行训练，调节参数，使得最终的损失最小。这就用到了我们的反向传播算法，实际上反向传播就是梯度下降法中链式法则的使用。

下面我们看如何反向传播

根据公式，我们有：

这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有：

同理有：

到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：

我们现在还需要求

，下面给出一个推导其它全都类似

同理可得其它几个式子：

则最终的结果为：

再按照这个权重参数进行一遍正向传播得出来的Error为0.165

而这个值比原来的0.19要小，则继续迭代，不断修正权值，使得代价函数越来越小，预测值不断逼近0.5.我迭代了100次的结果，Error为5.92944818e-07（已经很小了，说明预测值与真实值非常接近了），最后的权值为：

bp过程可能差不多就是这样了，可能此文需要你以前接触过bp算法，只是还有疑惑，一步步推导后，会有较深的理解。

上面的python代码实现如下：

#!/usr/bin/env python#coding:utf-8import numpy as npdef nonlin(x, deriv = False):    if(deriv == True):        return x * (1 - x)    return 1 / (1 + np.exp(-x))X = np.array([[0.35], [0.9]])y = np.array([[0.5]])np.random.seed(1)W0 = np.array([[0.1, 0.8], [0.4, 0.6]])W1 = np.array([[0.3, 0.9]])print 'original ', W0, '\n', W1for j in xrange(100):    l0 = X    l1 = nonlin(np.dot(W0, l0))    l2 = nonlin(np.dot(W1, l1))    l2_error = y - l2    Error = 1 / 2.0 * (y-l2)**2    print 'Error:', Error    l2_delta = l2_error * nonlin(l2, deriv=True)    l1_error = l2_delta * W1 #back propagation    l1_delta = l1_error * nonlin(l1, deriv=True)    W1 += l2_delta * l1.T    W0 += l0.T.dot(l1_delta)    print W0, '\n', W1