统计学---掌握数据的整体状态

我们日常工作生活中会获得各种数据，我们希望了解这些数据所代表的整体状态，从而可以用来描述、比较和评价。

例如一个公司每个人的收入，一个公司保龄球对抗赛的分组成绩，这些获得的数据都是数值型数据。我们假设公司有3个部门，每个部门有6个人，其保龄球对抗赛的得分情况如下：

A部门	B部门	C部门
86	84	229
73	71	77
124	103	59
111	85	95
90	90	70
38	89	88

怎么对这3个部门的成绩数据进行比较和评价呢?首先想到的第一个评估值当然是各部门的总得分情况。例如A部门总得分是522分，B部门总得分是522分，c部门得分是618分。C部门得分最高，A、B部门得分相同。c部门最强。

这是其中一种数据评估项：即总数(sum)。但是，如果A、B、C三个部门的人数不相等呢，那么显然人数多的部门有更多的优势。就像中国和挪威，中国人的数量比挪威人的数量多的多，那么中国的GDP就比挪威的GDP有更多的优势，你可以把总数理解为GDP。

那么，第2种数据评估项就来了：平均数，也称为“均值(mean)”。即总数量除以总个数。A、B、C这3个部门各是6个人，那么平均数就是A部门87分，B部87分，C部103分。C部门仍然最强。你可以理解“平均数”为“人均GDP”。

但我们注意观察一下，C部分平均得分是103分，但是c部门6个人，超过103分的只有1个人，低于103分的有5人，也即超过80%的人没有过平均数，把103分当作C部门的平均得分好像很不合理啊。

我们经常在各种新闻报道中，有某某行业平均薪酬是多少万元，某地区人均薪酬是多少，例如软件行业平均薪酬25万元，金融行业平均薪酬50万元，很多人的感觉是自己拖后腿了。这种感觉没有错，可能8o%的人实际上都没有过平均数，因为平均数被行业中某些高收入的人拉高了。

在这种情况下，使用“中位数(median)”来评估数据可能更合适，中位数就是将数据依大小顺序排列，取最中间的值，例如A部门的得分是86、73、124、111、90、38，按照顺序排列是38、73、86、90、111、124，最中间的值是86、90。

中位数的计算方法是：如果数据个数是奇数，则最中间的值就是中位数；如果数据个数是偶数，则最中间的2个值的平均数是中位数。那么A部门的中位数是(86+90)/2=88，B部门是(85+89)/2=87，C部门是(77+88)/2=82.5。可以看出，C部门的中位数反而是最低的。

我们再来看一下，A部门和B部门的总得分相同，都为522分，平均得分也相同，都为87分，中位数也差不多。但我们把A部门和B部门的各个得分画成下图，能够看出来这2队的数据状况大不相同吧。

A部门各人的得分散落在各处，而B部门各人的得分都相当接近。表现数据这种“离散程度”的数据评估项，就是“标准差(Standard Deviation)”，标准差的最小值为0、而数据的“离散程度”越大，标准差就越大。标准差的计算如下：

通过上式计算得到A部门的得分标准差是30.17，B部7的得分标准差是10.37。也就是说总得分、平均数都相同，中位数很接近的A部门和B部门，离散程度却相差3倍。显然B部门的得分更加均衡。你可以理解为在GDP和人均GDP相同的情况下，标准差低的收入更加均衡，贫富差距比较小。

上面都是对数值数据的整体掌握，那么对于分类数据呢？例如移动通信公司收集到一份数据，对移动通信服务的评价情况，“非常满意、满意、一般、无所谓”。

序号	满意程度
1	非常满意
2	满意
3	满意
4	一般
5	一般
6	无所谓
7	一般
…	…..

对于分类数据，一般通过计算各个分类占总数的比例来掌握数据的整体状态，例如上面100个调查数据中，非常满意的有18人，满意的有70人，股的有10人，无所谓的有2人，那么这4个分类分别占比是18%，70%，10%、 2%。

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