素数环-dfs回溯+二维数组记录（c++实现）

问题描述：

给你n（2<=n<=16）个正整数1,2,3…n，你的任务是把这n个正整数组成一个环，使得任意相邻的两个整数之和为一个素数，输出有多少种合法方案。

输入

多组输入数据，每组数据只有一个正整数n（2<=n<=16）代表有n个正整数 1,2,3…n

输出

对每组数据，输出一个整数，代表有多少种不同的可行方案数。

样例输入

6
8

样例输出

2
4
思路：
一.从输入数据出发:1,2,3,…N
因为素数都为奇数,所以只能是偶+奇才能构成素数,通过简单的画圆环（如1 2 3当1-3连接时会出现偶数，不成立）可以明显发现,只有当N为偶数时才可能构成素数环.当为奇数时直接为0.
二.从结果入手:因为我们要构成奇数环,N个数字实际构成N个素数(可能重复),原数据的排列相当于这些素数的排列构成了我们要的素数环
而要得到这些素数实际就是奇数和偶数的拼接.=>将每个可能使用到的素数进行拆分(拆分成奇数+偶数对的形式,eg:5 =>(1,4),(2,3) )然后我们根据这些对找关联即可(类似于数组链表格式(下标作为当前节点的位置值,值作为下一个节点的位置值)
eg:
a[1]=2 a[2]=3 a[3]=4 a[4]=1
1->2（a[1]=2）->3(a[2]=3)->4(a[3]=4)
三.关键条件:
1.首先在数据范围内包含的可能存在的素数的分解奇数+偶数对中存在上述的(1,2) (2,3)，(3,4)。如果只有（1,2）（2,1）（3,4）就不行了，因为不能构成一条相连的素数链也就不能构成素数环。(素数环中存在的素数<=N2-1。因为可用的最大两个元素是N-1和N,两个元素之和最大为N2-1)
2.节点是否已访问//可以维护一个长度N+1的节点数组用于存储节点状态
3.首尾应该能满足相加为素数
四.如何去表示上述情况
使用一个二维数组T[N+1][N+1],eg:素数K可以分为1,K-1.则T[1][K-1]=T[K-1][1]=1（无向图）
五.怎么判断这是一种情况
因为是环状结构将其拆开成单条链判断,一个环从任何位置切都只能算为一种情况,所以我们可以固定一个参考点,比如1或2的位置因为1,2是所有素数环（n>=2）都存在的元素.
eg:
1 2 3 4=>素数环
1 4 3 2=>素数环
2 3 4 1当然也是,但这种情况实际就是情况1只是这里我们选择以2为参考

解题过程:(考虑N=6时,可以得到的最大奇数为11.括号中的是组成11及以下的素数（3,5，7,11）的奇偶数对。通过从1开始寻找能够连接且不重复的数对（因为他们都是素数的数对所以之和也一定是素数），如 1-4，4-3， 3-2， 2-5， 5-6，他们构成的链元素既不重复又将1-6使用完了。最后一步.检查首尾。1-6 数对存在，所以这种情况成立即1-4-3-2-5-6-1)

补充:尾部应该判断1-4和1-6是否可以构成素数.可从二维数组中的T[1][4]和T[1][6]是否为1判断

//使用dfs遍历所有情况
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int sum=0;
void f(vector<vector<int> >&op,vector<int>check,int &a,int n,int start){if(n==a){sum++;return;}for(int i=2;i<=a;i++){if(op[start][i]&&check[i]==0){check[i]=1;if(n!=a-1||n==a-1&&op[1][i])f(op,check,a,n+1,i);check[i]=0;}}
}
int main() {int a;vector<int>res={3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31};//最小1+2,所以不可能为2vector<int>check=vector<int>(17,0);check[1]=1;while(cin>>a){sum=0;if(a&1){cout<<0<<endl;continue;}vector<vector<int> > ans=vector<vector<int> >(a+1,vector<int>(a+1,0));for(int i:res){if(i>a*2)break;for(int j=1;j<=i/2;j++){if(i-j>a)continue;ans[j][i-j]=ans[i-j][j]=1;}}f(ans,check,a,1,1);cout<<sum<<endl;}return 0;
}